Finding Taylor Polynomial Approximations of Functions · Encontrando Aproximações de Polinômios de Taylor de Funções
| English | Português |
|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polinômio de Taylor |
| Maclaurin polynomial/məˈklɔːrɪn ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polinômio de Maclaurin |
Approximating a function with a polynomial
- Linearization (Unit 4) used a tangent line to approximate a function. Why stop at a line?
- A Taylor polynomial 泰勒多项式 matches a function's value and several derivatives at a point.
- The more derivatives it matches, the better it hugs the curve nearby.
- Polynomials are easy to compute, so they're a powerful stand-in for messy functions.
Aproximando uma função com um polinômio
- A linearização (Unidade 4) usou uma reta tangente para aproximar uma função. Por parar numa linha?
- Um polinômio de Taylor 泰勒多项式 combina o valor da função e várias derivadas em um ponto.
- Quanto mais derivadas ele combinar, melhor ele abraça a curva nas proximidades.
- Polinômios são fáceis de calcular, então são uma poderosa substituta para funções complicadas.
Building the polynomial
- Centered at $x=a$, the $n$th-degree Taylor polynomial is:
-
$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$$
- Each term uses the $k$th derivative at $a$, divided by $k!$, times $(x-a)^k$.
- The degree-$1$ piece is exactly the linearization; higher terms add curvature.
Construindo o polinômio
- Centralizado em $x=a$, o polinômio de Taylor de grau $n$ é:
-
$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$$
- Cada termo usa a $k$ª derivada em $a$, dividida por $k!$, multiplicada por $(x-a)^k$.
- A parte de grau-$1$ é exatamente a linearização; termos maiores adicionam curvatura.
The · A $k$th term of a Taylor polynomial centered at $a$ is... · O ⟨$k$⟩-ésimo termo de um polinômio de Taylor centrado em $a$ é...
Derivative at $a$, over $k!$, times $(x-a)^k$. · Derivada em $a$, sobre $k!$, vezes $(x-a)^k$.
Every derivative in a Taylor polynomial is evaluated at the ____ $a$. · Toda derivada em um polinômio de Taylor é avaliada na ____ $a$.
Use $f^{(k)}(a)$, not $f^{(k)}(x)$. · Use $f^{(k)}(a)$, não $f^{(k)}(x)$.
Maclaurin: centered at zero
- A Maclaurin polynomial 麦克劳林多项式 is just a Taylor polynomial centered at $a=0$.
- $P_n(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$ — the $(x-a)$ factors become plain $x^k$.
- Common ones are worth memorizing: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ have clean Maclaurin polynomials.
- Same recipe, centered at the origin.
Maclaurin: centralizado em zero
- Um polinômio de Maclaurin 麦克劳林多项式 é apenas um polinômio de Taylor centralizado em $a=0$.
- $P_n(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$ — os fatores $(x-a)$ tornam-se simples $x^k$.
- Os mais comuns valem a pena memorizar: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ têm polinômios de Maclaurin simples.
- Mesma receita, centralizada na origem.
A Maclaurin polynomial is a Taylor polynomial centered at... · Um polinômio de Maclaurin é um polinômio de Taylor centrado em...
Maclaurin = centered at $0$. · Maclaurin = centrado em $0$.
Better near the center
- The approximation is best near $x=a$ and gets worse as you move away.
- Adding more terms (higher degree) improves accuracy on a wider range.
- Match value, slope, concavity, and beyond — each derivative pins down one more feature.
- The tangent line is just the first two terms of this bigger idea.
Melhor perto do centro
- A aproximação é melhor perto de $x=a$ e piora quanto mais se afasta.
- Adicionar mais termos (maior grau) melhora a precisão em uma faixa mais ampla.
- Combine valor, inclinação, concavidade e além — cada derivada fixa mais uma característica.
- A reta tangente é apenas os primeiros dois termos dessa ideia maior.
A polynomial hugging eˣ · Um polinômio abraçando eˣ
y = a·e^{bx}
The degree-2 Maclaurin polynomial $1+x+\tfrac{x^2}{2}$ hugs $e^x$ near $0$ — more terms widen the good range. · O polinômio de Maclaurin de grau-2 $1+x+\tfrac{x^2}{2}$ abraça $e^x$ perto de $0$ — mais termos ampliam a boa faixa.
The degree-2 Maclaurin polynomial for $e^x$ is... · O polinômio de Maclaurin de grau-2 para $e^x$ é...
All derivatives of $e^x$ at $0$ are $1$. · Todas as derivadas de $e^x$ em $0$ são $1$.
The Taylor term divides the $k$th derivative by $k!$ (a factorial). · O termo de Taylor divide a $k$-ésima derivada por $k!$ (um fatorial).
Divide by $k!$, not $k$. · Divida por $k!$, não $k$.
A Taylor polynomial approximation is most accurate... · Uma aproximação de polinômio de Taylor é mais precisa...
Accuracy is best near $a$ and improves with more terms. · A precisão é melhor perto de $a$ e melhora com mais termos.
Don't drop the factorials: the $k$th term is $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — divide by $k!$, not just $k$. Evaluate every derivative at the center $a$ (not at $x$). And the approximation is only good near $a$; far away, a truncated Taylor polynomial can be wildly off.
Não despreze os fatoriais: o termo $k$ é $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — divida por $k!$, não apenas por $k$. Avalie cada derivada no centro $a$ (não em $x$). E a aproximação só é boa perto de $a$; longe disso, um polinômio de Taylor truncado pode estar muito errado.
Find the degree-$2$ Maclaurin polynomial for $f(x)=e^x$.
- $f(0)=1$, $f'(0)=1$, $f''(0)=1$ (since every derivative of $e^x$ is $e^x$).
- $P_2(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2=1+x+\frac{x^2}{2}$.
- Near $0$, $e^x\approx 1+x+\tfrac{x^2}{2}$ (e.g. $e^{0.1}\approx1.105$). ✓
Encontre o polinômio de Maclaurin de grau-$2$ para $f(x)=e^x$.
- $f(0)=1$, $f'(0)=1$, $f''(0)=1$ (pois toda derivada de $e^x$ é $e^x$).
- $P_2(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2=1+x+\frac{x^2}{2}$.
- Perto de $0$, $e^x\approx 1+x+\tfrac{x^2}{2}$ (ex. $e^{0.1}\approx1.105$). ✓
A Taylor polynomial centered at $a$ is $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — matching the function's value and derivatives at $a$. A Maclaurin polynomial is the special case $a=0$. Keep the factorials, evaluate derivatives at $a$, and expect the best accuracy near the center.
Um polinômio de Taylor centrado em $a$ é $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — correspondendo ao valor da função e às suas derivadas em $a$. Um polinômio de Maclaurin é o caso especial $a=0$. Mantenha os fatoriais, avalie as derivadas em $a$ e espere a melhor precisão perto do centro.