Working with Geometric Series · Trabalhando com Séries Geométricas
| English | Português |
|---|---|
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | série geométrica |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | razão comum |
The one series you can sum exactly
- Most series are hard to add up. The geometric series 几何级数 is the friendly exception — it has a formula.
- Each term is the previous one times a fixed common ratio 公比 $r$: $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$.
- It's the infinite version of the geometric sequences you already know.
- And there's a clean rule for exactly when it converges and to what.
A única série que você pode somar exatamente
- A maioria das séries é difícil de somar. A série geométrica 几何级数是友好的例外 — ela tem uma fórmula.
- Cada termo é o anterior multiplicado por uma razão comum fixa 公比 $r$: $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$.
- É a versão infinita das sequências geométricas que você já conhece.
- E existe uma regra limpa para saber exatamente quando converge e para quê.
A geometric sequence · Uma sequência geométrica
A geometric series adds terms multiplied by $r$ each time — it converges (to $a/(1-r)$) exactly when $|r|<1$. · Uma série geométrica soma termos multiplicados por $r$ a cada passo — ela converge (para $a/(1-r)$) exatamente quando $|r|<1$.
Converges only when $|r|<1$
- A geometric series converges exactly when $|r|<1$ (the ratio is a fraction).
- If $|r|\ge1$, the terms don't shrink to $0$, so it diverges.
- $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ ($r=\tfrac12$) converges; $1+2+4+\cdots$ ($r=2$) diverges.
- The single number $|r|$ decides everything.
Converge apenas quando $|r|<1$
- Uma série geométrica converge exatamente quando $|r|<1$ (a razão é uma fração).
- Se $|r|\ge1$, os termos não diminuem até $0$, então ela diverge.
- $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ ($r=\tfrac12$) converge; $1+2+4+\cdots$ ($r=2$) diverge.
- Um único número $|r|$ decide tudo.
A geometric series $\sum a r^n$ converges exactly when... · Uma série geométrica $\sum a r^n$ converge exatamente quando...
Converges iff the ratio is a fraction, $|r|<1$. · Converge se e somente se a razão for uma fração, $|r|<1$.
Which geometric series diverges? · Qual série geométrica diverge?
$r=2$ has $|r|\ge1$ → diverges. · $r=2$ tem $|r|\ge1$ → diverge.
The sum formula
- When it converges ($|r|<1$), the sum is
-
$$\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}$$
- $a$ is the first term and $r$ the common ratio.
- Plug in and you get the exact infinite sum — no limits to compute by hand.
A fórmula da soma
- Quando converge ($|r|<1$), a soma é
-
$$\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}$$
- $a$ é o primeiro termo e $r$ a razão comum.
- Substitua e obtenha a soma infinita exata — sem precisar calcular limites manualmente.
The sum of a convergent geometric series is... · A soma de uma série geométrica convergente é...
$\sum a r^n=\frac{a}{1-r}$ for $|r|<1$. · $\sum a r^n=\frac{a}{1-r}$ para $|r|<1$.
The formula $\tfrac{a}{1-r}$ can be applied even when $|r|\ge1$. · A fórmula $\tfrac{a}{1-r}$ pode ser aplicada mesmo quando $|r|\ge1$.
Only when $|r|<1$ (convergent). · Apenas quando $|r|<1$ (convergente).
Getting $a$ and $r$ right
- $a$ is the actual first term of the series (whatever it starts at), not necessarily $1$.
- $r$ is the ratio between consecutive terms — divide any term by the one before it.
- If a series starts at $n=1$ instead of $n=0$, adjust $a$ to be that first term.
- With the right $a$ and $r$, the formula $\tfrac{a}{1-r}$ does the rest.
Obtendo $a$ e $r$ corretos
- $a$ é o primeiro termo real da série (o que quer que comece), não necessariamente $1$.
- $r$ é a razão entre termos consecutivos — divida qualquer termo pelo anterior.
- Se uma série começa em $n=1$ em vez de $n=0$, ajuste $a$ para ser esse primeiro termo.
- Com $a$ e $r$ corretos, a fórmula $\tfrac{a}{1-r}$ faz o resto.
Find $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 5\left(\tfrac13\right)^n$ (a decimal). · Encontre $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 5\left(\tfrac13\right)^n$ (um decimal).
$\frac{5}{1-1/3}=\frac{5}{2/3}=7.5$.
In the formula $\tfrac{a}{1-r}$, $a$ is the ____ term of the series. · Na fórmula $\tfrac{a}{1-r}$, $a$ é o ____ termo da série.
$a$ is the actual first term. · $a$ é o primeiro termo real.
The formula $\frac{a}{1-r}$ applies only when $|r|<1$ — using it on a divergent geometric series gives a meaningless number. And $a$ is the first term as written, not always $1$: for $\sum_{n=1}^\infty 3\cdot 2^{-n}=\tfrac32+\tfrac34+\cdots$, the first term is $\tfrac32$, not $3$.
A fórmula $\frac{a}{1-r}$ aplica-se apenas quando $|r|<1$ — usá-la em uma série geométrica divergente dá um número sem sentido. E $a$ é o primeiro termo conforme escrito, nem sempre $1$: para $\sum_{n=1}^\infty 3\cdot 2^{-n}=\tfrac32+\tfrac34+\cdots$, o primeiro termo é $\tfrac32$, e não $3$.
Find the sum of $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 5\left(\tfrac13\right)^{n}$.
- First term $a=5$, common ratio $r=\tfrac13$. Since $|r|<1$, it converges.
- $\displaystyle\sum=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{1-\tfrac13}=\frac{5}{\tfrac23}=\frac{15}{2}$.
Encontre a soma de $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 5\left(\tfrac13\right)^{n}$.
- Primeiro termo $a=5$, razão comum $r=\tfrac13$. Como $|r|<1$, ela converge.
- $\displaystyle\sum=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{1-\tfrac13}=\frac{5}{\tfrac23}=\frac{15}{2}$.
A geometric series $\sum a\,r^n$ converges iff $|r|<1$, and then sums to $\frac{a}{1-r}$ (with $a$ the first term, $r$ the common ratio). If $|r|\ge1$ it diverges. It's the one series with an exact, easy sum.
Uma série geométrica $\sum a\,r^n$ converge iff $|r|<1$, e então soma para $\frac{a}{1-r}$ (com $a$ sendo o primeiro termo, $r$ a razão comum). Se $|r|\ge1$ ela diverge. É a única série com uma soma exata e fácil.