Finding Arc Lengths of Curves Given by Parametric Equations · Encontrando Comprimentos de Arco de Curvas Dadas por Equações Paramétricas
| English | Português |
|---|---|
| arc length/ɑːk leŋθ/ | comprimento de arco |
| speed/spiːd/ | velocidade |
How far a parametric point travels
- A parametric point $\big(x(t),y(t)\big)$ moves through the plane. How long is the path it traces?
- That's the arc length 弧长 of the parametric curve, from $t=a$ to $t=b$.
- Each tiny time step moves the point by $dx=\tfrac{dx}{dt}\,dt$ across and $dy=\tfrac{dy}{dt}\,dt$ up.
- Add up those tiny hypotenuses to get the total length.
Quão longe um ponto paramétrico viaja
- Um ponto paramétrico $\big(x(t),y(t)\big)$ se move pelo plano. Qual é o comprimento do trajeto que ele traça?
- Esse é o comprimento de arco 弧长 da curva paramétrica, de $t=a$ a $t=b$.
- Cada pequeno intervalo de tempo move o ponto $dx=\tfrac{dx}{dt}\,dt$ para o lado e $dy=\tfrac{dy}{dt}\,dt$ para cima.
- Some essas pequenas hipotenusas para obter o comprimento total.
The formula
- The little step length is $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$.
- Integrating over the time interval:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{\Big(\tfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\tfrac{dy}{dt}\Big)^2}\,dt$$
- Both component derivatives are squared, added, rooted, and integrated in $t$.
A fórmula
- O pequeno comprimento do passo é $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$.
- Integrando sobre o intervalo de tempo:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{\Big(\tfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\tfrac{dy}{dt}\Big)^2}\,dt$$
- Ambas as derivadas componentes estão elevadas ao quadrado, somadas, extraídas e integradas em $t$.
The arc length of a parametric curve is $\int_a^b(\ ?\ )\,dt$ where the integrand is... · O comprimento de arco de uma curva paramétrica é $\int_a^b(\ ?\ )\,dt$ onde o integrando é...
Both derivatives squared, added, under a root. · Ambas as derivadas ao quadrado, somadas, sob raiz.
For · A favor $x=t^2$, $y=t^3$: $(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=$ · Para $x=t^2$, $y=t^3$: $(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=$
$(2t)^2+(3t^2)^2=4t^2+9t^4$.
The integrand is the speed
- $\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}$ is exactly the speed 速率 of the moving point.
- Speed is distance per unit time; integrating speed over time gives total distance.
- So arc length = the integral of speed — the parametric version of "distance = ∫ speed dt."
- This connects directly to motion problems (lesson 9.6).
O integrando é a velocidade
- $\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}$ é exatamente a velocidade 速率 do ponto em movimento.
- Velocidade é distância por unidade de tempo; integrar a velocidade sobre o tempo dá a distância total.
- Então comprimento de arco = a integral da velocidade — a versão paramétrica de "distância = ∫ velocidade dt."
- Isso conecta diretamente a problemas de movimento (lição 9.6).
Length is the integral of speed · O comprimento é a integral da velocidade escalar
y = ax^{1.5}
The parametric arc-length integrand is the point's speed — integrating speed over time gives the distance traveled. · O integrando do comprimento de arco paramétrico é a velocidade do ponto — integrar a velocidade no tempo dá a distância percorrida.
The parametric arc-length integrand equals the point's ____. · O integrando do comprimento de arco paramétrico é igual à ____ do ponto.
Integral of speed = distance. · Integral da velocidade escalar = distância.
The parametric arc length is the same integral used for a particle's... · O comprimento de arco paramétrico é a mesma integral usada para a ____ de uma partícula...
Integral of speed = distance traveled. · Integral da velocidade escalar = distância percorrida.
Setting it up in practice
- Compute $\tfrac{dx}{dt}$ and $\tfrac{dy}{dt}$, square and add, take the root.
- Integrate from the starting $t$ to the ending $t$ (the $t$-interval, not $x$ or $y$).
- Many of these integrals need a calculator; the setup is the graded skill.
- Keep both derivatives — dropping one loses the diagonal motion.
Montando na prática
- Calcule $\tfrac{dx}{dt}$ e $\tfrac{dy}{dt}$, eleve ao quadrado e some, tire a raiz.
- Integre desde o $t$ inicial até o $t$ final (o intervalo de $t$, não $x$ ou $y$).
- Muitas dessas integrais precisam de calculadora; a montagem é a habilidade avaliada.
- Mantenha ambas as derivativas — dropping one loses the diagonal motion.
The limits of integration for parametric arc length are $t$-values. · Os limites de integração para o comprimento de arco paramétrico são valores de $t$.
Integrate over the time interval. · Integre sobre o intervalo de tempo.
You can drop $\tfrac{dy}{dt}$ if · se $\tfrac{dx}{dt}$ is larger. · Você pode descartar $\tfrac{dy}{dt}$ se $\tfrac{dx}{dt}$ for maior.
Both derivatives are needed for the diagonal motion. · Ambas as derivadas são necessárias para o movimento diagonal.
The limits are $t$-values (the time interval), and both $\tfrac{dx}{dt}$ and $\tfrac{dy}{dt}$ appear, each squared under the root. Don't use $x$-limits, and don't forget one of the two derivatives. This is the same "speed integral" as distance traveled — not a signed quantity, so no absolute values needed (the root is already $\ge0$).
Os limites são $t$-valores (o intervalo de tempo), e ambos $\tfrac{dx}{dt}$ e $\tfrac{dy}{dt}$ aparecem, cada um elevado ao quadrado sob a raiz. Não use limites $x$, e não esqueça uma das duas derivadas. Esta é a mesma "integral de velocidade" que a distância percorrida — não uma quantidade com sinal, portanto não há necessidade de valores absolutos (a raiz já é $\ge0$).
Find the length of $x=t^2,\ y=t^3$ for $0\le t\le 1$.
- $\tfrac{dx}{dt}=2t$, $\tfrac{dy}{dt}=3t^2$; sum of squares $=4t^2+9t^4=t^2(4+9t^2)$.
- $L=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{t^2(4+9t^2)}\,dt=\int_0^1 t\sqrt{4+9t^2}\,dt$.
- $u$-sub $u=4+9t^2$: $=\tfrac{1}{27}\big(13^{3/2}-8\big)\approx1.44$.
Encontre o comprimento de $x=t^2,\ y=t^3$ para $0\le t\le 1$.
- $\tfrac{dx}{dt}=2t$, $\tfrac{dy}{dt}=3t^2$; soma dos quadrados $=4t^2+9t^4=t^2(4+9t^2)$.
- $L=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{t^2(4+9t^2)}\,dt=\int_0^1 t\sqrt{4+9t^2}\,dt$.
- Substituição $u$ em $u=4+9t^2$: $=\tfrac{1}{27}\big(13^{3/2}-8\big)\approx1.44$.
The arc length of a parametric curve is $L=\int_a^b\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$ over the $t$-interval. The integrand is the point's speed, so this is the integral of speed = distance traveled. Square both component derivatives under one root.
O comprimento do arco de uma curva paramétrica é $L=\int_a^b\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$ sobre o intervalo $t$. O integrando é a velocidade do ponto, então esta é a integral da velocidade = distância percorrida. Eleve ao quadrado ambas as derivadas dos componentes sob uma única raiz.