Volume with Washer Method: Revolving Around the x- or y-Axis · Volume com Método das Arandelas: Girando em Torno do Eixo x ou y
| English | Português |
|---|---|
| washer/ˈwɒʃə/ | anel |
| washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/ | método dos anéis |
| inner radius/ˈɪnə ˈreɪdɪəs/ | raio interno |
| outer radius/ˈaʊtə ˈreɪdɪəs/ | raio externo |
A disc with a hole in it
- When you revolve a region that has a gap between two curves, each slice isn't a solid disc — it's a ring.
- That ring (a disc with a circular hole punched out) is a washer 垫圈.
- Its area is the big circle minus the small circle: $\pi R^2-\pi r^2$.
- Adding up washers is the washer method 垫圈法.
Um disco com um buraco
- Quando você revolve uma região que tem uma lacuna entre duas curvas, cada fatia não é um disco sólido — é um anel.
- Esse anel (um disco com um buraco circular perfurado) é uma lavagem 垫圈.
- Sua área é o círculo grande menos o círculo pequeno: $\pi R^2-\pi r^2$.
- Somar lavagens é o método das lavagens 垫圈法.
A washer (rather than a disc) appears when... · Uma arandela (em vez de um disco) aparece quando...
The gap leaves a hole → a washer. · A lacuna deixa um buraco → uma arandela.
Outer minus inner radius
- Each washer has an outer radius 外半径 $R$ (to the far curve) and an inner radius 内半径 $r$ (to the near curve).
- Its area is $\pi\big(R^2-r^2\big)$, so:
-
$$V=\pi\int_a^b \Big(\big[R(x)\big]^2-\big[r(x)\big]^2\Big)\,dx$$
- Revolving about the $x$-axis, $R$ and $r$ are the distances from the two curves to the axis.
Raio externo menos raio interno
- Cada lavagem tem um raio externo 外半径 $R$ (até a curva distante) e um raio interno 内半径 $r$ (até a curva próxima).
- Sua área é $\pi\big(R^2-r^2\big)$, logo:
-
$$V=\pi\int_a^b \Big(\big[R(x)\big]^2-\big[r(x)\big]^2\Big)\,dx$$
- Revolvendo em torno do eixo $x$, $R$ e $r$ são as distâncias das duas curvas ao eixo.
Two curves make a ring · Duas curvas formam um anel
y = ax² + bx
Between $y=x$ and · e $y=\sqrt x$ there is a gap from the axis — revolving makes washers with outer $\sqrt x$, inner $x$. · Entre $y=x$ e $y=\sqrt x$ há uma lacuna do eixo — girar gera arandelas com externo $\sqrt x$, interno $x$.
The washer-method volume is... · O volume pelo método das arandelas é...
Big circle minus small circle: $\pi(R^2-r^2)$. · Círculo grande menos círculo pequeno: $\pi(R^2-r^2)$.
In a washer, $R$ is the ____ radius (to the far curve) and $r$ the inner radius. · Em uma arruela, $R$ é o raio ____ (até a curva distante) e $r$ o raio interno.
Outer to the far curve, inner to the near curve. · Externo até a curva longe, interno até a curva perto.
Identifying $R$ and $r$
- $R$ (outer) comes from the curve farther from the axis; $r$ (inner) from the nearer curve.
- Revolving the region between $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) about the $x$-axis: $R=f(x)$, $r=g(x)$.
- The hole exists because the bottom curve doesn't reach the axis.
- Square each radius separately before subtracting.
Identificando $R$ e $r$
- $R$ (externo) vem da curva mais longe do eixo; $r$ (interno) da curva mais perto.
- Revolvendo a região entre $y=f(x)$ (topo) e $y=g(x)$ (base) em torno do eixo $x$: $R=f(x)$, $r=g(x)$.
- O buraco existe porque a curva inferior não atinge o eixo.
- Eleve cada raio ao quadrado separadamente antes de subtrair.
Revolving the region between $y=\sqrt x$ (top) and $y=x$ (bottom) about the $x$-axis, the outer radius is... · Girando a região entre $y=\sqrt x$ (topo) e $y=x$ (base) em torno do eixo $x$, o raio externo é...
The farther curve from the axis, $\sqrt x$, is the outer radius. · A curva mais distante do eixo, $\sqrt x$, é o raio externo.
Square first, then subtract
- The area is $\pi(R^2-r^2)$, not $\pi(R-r)^2$ — square each radius before you subtract.
- $(R-r)^2$ would wrongly include a cross term and give the wrong volume.
- So compute $R^2$ and $r^2$ each, subtract, then integrate and multiply by $\pi$.
- This is the single most common washer mistake.
Eleve ao quadrado primeiro, depois subtraia
- A área é $\pi(R^2-r^2)$, não $\pi(R-r)^2$ — eleve cada raio ao quadrado antes de subtrair.
- $(R-r)^2$ incluiria erroneamente um termo cruzado e daria volume errado.
- Então calcule $R^2$ e $r^2$ separadamente, subtraia, integre e multiplique por $\pi$.
- Este é o único erro mais comum de lavagem.
The washer integrand $R^2-r^2$ is the same as $(R-r)^2$. · O integrando das arandelas $R^2-r^2$ é o mesmo que $(R-r)^2$.
Square each radius first; $(R-r)^2$ is wrong. · Eleve cada raio ao quadrado primeiro; $(R-r)^2$ está errado.
For · A favor $R=\sqrt x$, $r=x$ on $[0,1]$: $V=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=$ · Para $R=\sqrt x$, $r=x$ em $[0,1]$: $V=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=$
$\pi(\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{6}$.
The washer integrand is $R^2-r^2$, not $(R-r)^2$ — square the radii before subtracting. And keep $R$ (outer, to the far curve) distinct from $r$ (inner, to the near curve); swapping them, or using $(R-r)^2$, both give wrong volumes. A washer appears only when a gap separates the region from the axis.
O integrando da lavagem é $R^2-r^2$, não $(R-r)^2$ — eleve os raios ao quadrado antes de subtrair. E mantenha $R$ (externo, à curva distante) distinto de $r$ (interno, à curva próxima); trocá-los ou usar $(R-r)^2$ dá volumes errados. Uma lavagem aparece apenas quando uma lacuna separa a região do eixo.
Revolve the region between $y=x$ (bottom) and $y=\sqrt x$ (top) on $[0,1]$ about the $x$-axis.
- Outer radius $R=\sqrt x$, inner radius $r=x$ (on $[0,1]$, $\sqrt x\ge x$).
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\big((\sqrt x)^2-x^2\big)\,dx=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\pi\Big(\tfrac12-\tfrac13\Big)=\tfrac{\pi}{6}$.
Gire a região entre $y=x$ (base) e $y=\sqrt x$ (topo) no intervalo $[0,1]$ em torno do eixo $x$.
- Raio externo $R=\sqrt x$, raio interno $r=x$ (no intervalo $[0,1]$, $\sqrt x\ge x$).
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\big((\sqrt x)^2-x^2\big)\,dx=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\pi\Big(\tfrac12-\tfrac13\Big)=\tfrac{\pi}{6}$.
The washer method revolves a region with a gap into rings: $V=\pi\int_a^b\big(R^2-r^2\big)\,dx$, where $R$ is the outer radius (far curve) and $r$ the inner radius (near curve). Square each radius before subtracting — $R^2-r^2$, never $(R-r)^2$.
O método das lavagens revolve uma região com lacuna em anéis: $V=\pi\int_a^b\big(R^2-r^2\big)\,dx$, onde $R$ é o raio externo (curva distante) e $r$ o raio interno (curva próxima). Eleve cada raio ao quadrado antes de subtrair — $R^2-r^2$, nunca $(R-r)^2$.