Volume with Disc Method: Revolving Around the x- or y-Axis · Volume com Método dos Discos: Girando em Torno do Eixo x ou y
| English | Português |
|---|---|
| disc/dɪsk/ | disco |
| disc method/dɪsk ˈmeθəd/ | método dos discos |
Spin a region into a solid
- Take a region, spin it around an axis, and it sweeps out a solid of revolution.
- Slice perpendicular to the axis and each slice is a thin disc 圆盘 (a coin).
- Add up the disc volumes: the disc method 圆盘法.
- It's the cross-section formula with circular slices.
Gire uma região para formar um sólido
- Pegue uma região, gire-a em torno de um eixo, e ela varrerá um sólido de revolução.
- Corte perpendicularmente ao eixo e cada fatia será um fino disco 圆盘 (uma moeda).
- Some as volumes dos discos: o método do disco 圆盘法.
- É a fórmula da seção transversal com fatias circulares.
Each slice in the disc method is a... · Cada fatia no método dos discos é uma...
Revolving sweeps out circular discs. · Girar varre discos circulares.
The disc formula
- Each disc is a circle of radius $R$ and thickness $dx$, so its volume is $\pi R^2\,dx$.
- If the region between $y=R(x)$ and the axis is revolved about the $x$-axis:
-
$$V=\pi\int_a^b \big[R(x)\big]^2\,dx$$
- The radius $R(x)$ is the distance from the curve to the axis of revolution — here just $f(x)$.
A fórmula do disco
- Cada disco é um círculo de raio $R$ e espessura $dx$, então seu volume é $\pi R^2\,dx$.
- Se a região entre $y=R(x)$ e o eixo for girada em torno do eixo $x$:
-
$$V=\pi\int_a^b \big[R(x)\big]^2\,dx$$
- O raio $R(x)$ é a distância da curva ao eixo de revolução — aqui apenas $f(x)$.
The profile that spins into discs · O perfil que gira em discos
y = a·√x
Revolving $y=\sqrt x$ about the $x$-axis stacks discs of radius $\sqrt x$ — volume $\pi\int R^2\,dx$. · Girar $y=\sqrt x$ em torno do eixo $x$ empilha discos de raio $\sqrt x$ — volume $\pi\int R^2\,dx$.
Revolving $y=R(x)$ about the $x$-axis, the volume is... · Girar $y=R(x)$ em torno do eixo $x$, o volume é...
Each disc is $\pi R^2\,dx$. · Cada disco é $\pi R^2\,dx$.
Revolving about the y-axis
- Spin about the $y$-axis instead? Slice horizontally and write the radius in terms of $y$.
-
$$V=\pi\int_c^d \big[R(y)\big]^2\,dy$$
- Now $R(y)$ is the horizontal distance from the curve $x=g(y)$ to the $y$-axis.
- Same formula, integrated in $y$, with the radius measured sideways.
Revolução em torno do eixo y
- Girar em torno do eixo $y$ em vez disso? Cortar horizontalmente e escrever o raio em termos de $y$.
-
$$V=\pi\int_c^d \big[R(y)\big]^2\,dy$$
- Agora $R(y)$ é a distância horizontal da curva $x=g(y)$ até o eixo $y$.
- Mesma fórmula, integrada em $y$, com o raio medido lateralmente.
In the disc method, the radius $R$ is the ____ from the curve to the axis of revolution. · No método dos discos, o raio $R$ é a ____ da curva até o eixo de rotação.
Radius = distance to the axis. · Raio = distância até o eixo.
Revolving about the $y$-axis, you integrate in $y$ using... · Girando em torno do eixo $y$, você integra em $y$ usando...
Match the variable to the axis: $y$-axis → $R(y)$, integrate in $y$. · Combine a variável com o eixo: eixo $y$ → $R(y)$, integre em $y$.
The radius is a distance
- The key skill: correctly identify $R$ as the distance from the curve to the axis.
- Revolving about the $x$-axis, a curve $y=f(x)$ gives radius $R=f(x)$ (its height).
- Revolving about the $y$-axis, a curve $x=g(y)$ gives radius $R=g(y)$.
- Square the radius, multiply by $\pi$, and integrate along the axis.
O raio é uma distância
- Habilidade chave: identificar corretamente $R$ como a distância da curva ao eixo.
- Revolvendo em torno do eixo $x$, uma curva $y=f(x)$ dá raio $R=f(x)$ (sua altura).
- Revolvendo em torno do eixo $y$, uma curva $x=g(y)$ dá raio $R=g(y)$.
- Eleve o raio ao quadrado, multiplique por $\pi$ e integre ao longo do eixo.
Revolving $y=\sqrt x$ on $[0,4]$ about the $x$-axis ($R^2=x$) gives $V=$ · Girar $y=\sqrt x$ em $[0,4]$ em torno do eixo $x$ ($R^2=x$) resulta em $V=$
$\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\cdot8=8\pi$.
The disc method includes a factor of $\pi$ and squares the radius. · O método dos discos inclui um fator de $\pi$ e eleva o raio ao quadrado.
$V=\pi\int R^2$.
Don't forget the $\pi$ and the squaring — the disc method is $\pi\int R^2$, not $\int R$. And match the integration variable to the axis: revolve about the $x$-axis → integrate in $x$ with $R(x)$; about the $y$-axis → integrate in $y$ with $R(y)$. Mixing them is a common slip.
Não esqueça o $\pi$ e o quadrado — o método do disco é $\pi\int R^2$, não $\int R$. E combine a variável de integração com o eixo: gire em torno do eixo $x$ → integre em $x$ com $R(x)$; em torno do eixo $y$ → integre em $y$ com $R(y)$. Misturá-los é um erro comum.
Revolve the region under $y=\sqrt x$ on $[0,4]$ about the $x$-axis.
- Radius $R(x)=\sqrt x$, so $R^2=x$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8\pi$.
- Each disc is a circle of radius $\sqrt x$ stacked along the $x$-axis.
Gire a região sob $y=\sqrt x$ no intervalo $[0,4]$ em torno do eixo $x$.
- Raio $R(x)=\sqrt x$, logo $R^2=x$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8\pi$.
- Cada disco é um círculo de raio $\sqrt x$ empilhado ao longo do eixo $x$.
The disc method revolves a region against an axis into circular slices: $V=\pi\int_a^b[R(x)]^2\,dx$ about the $x$-axis, or $\pi\int_c^d[R(y)]^2\,dy$ about the $y$-axis. The radius $R$ is the distance from the curve to the axis. Never drop the $\pi$ or the square.
O método do disco revolve uma região contra um eixo em fatias circulares: $V=\pi\int_a^b[R(x)]^2\,dx$ em torno do eixo $x$, ou $\pi\int_c^d[R(y)]^2\,dy$ em torno do eixo $y$. O raio $R$ é a distância da curva ao eixo. Nunca omita o $\pi$ nem o quadrado.