Modeling Situations with Differential Equations · Modelando Situações com Equações Diferenciais
| English | Português |
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| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | equação diferencial |
Equations that describe change itself
- Many real laws describe not a quantity, but how fast it changes.
- A differential equation 微分方程 relates a function to its derivatives.
- "Population grows at a rate proportional to its size" becomes $\dfrac{dP}{dt}=kP$.
- Solving it recovers the function; this unit is about writing and solving such equations.
Equações que descrevem a própria mudança
- Muitas leis reais descrevem não uma quantidade, mas o quão rápido ela muda.
- Uma equação diferencial 微分方程 relaciona uma função às suas derivadas.
- "A população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho" torna-se $\dfrac{dP}{dt}=kP$.
- Resolvê-la recupera a função; esta unidade trata sobre escrever e resolver tais equações.
A rate equation's slope field · Um campo de inclinação de uma equação de taxa
The equation · A equação $\tfrac{dy}{dt}=ky$ says the rate is proportional to $y$ — its slope field shows the growth it models. · A equação $\tfrac{dy}{dt}=ky$ diz que a taxa é proporcional a $y$ — seu campo de inclinação mostra o crescimento que ele modela.
A differential equation relates a function to its... · Uma equação diferencial relaciona uma função às suas...
It involves the function and its derivative(s). · Envolve a função e suas derivadas.
Translating words into a rate equation
- The phrase "the rate of change of $y$" is $\dfrac{dy}{dt}$ — the left side of your equation.
- "proportional to $y$" → $ky$; "proportional to the difference from $M$" → $k(M-y)$.
- Match the English description of the rate to an expression in $y$ (and maybe $t$).
- The whole model is: (rate of change) = (that expression).
Traduzindo palavras em uma equação de taxa
- A frase "a taxa de variação de $y$" é $\dfrac{dy}{dt}$ — o lado esquerdo da sua equação.
- "proporcional a $y$" → $ky$; "proporcional à diferença de $M$" → $k(M-y)$.
- Combine a descrição em inglês da taxa com uma expressão em $y$ (e talvez $t$).
- O modelo todo é: (taxa de variação) = (essa expressão).
"The rate of change of $y$ is proportional to $y$" becomes... · "A taxa de variação de $y$ é proporcional a $y$" torna-se...
Rate of change $\frac{dy}{dt}$ = $k$ times $y$. · Taxa de variação $\frac{dy}{dt}$ = $k$ vezes $y$.
Water drains at a rate proportional to the amount $W$. The model is... · Água drena a uma taxa proporcional à quantidade $W$. O modelo é...
Draining means decreasing → negative rate: $-kW$. · Drenagem significa diminuição → taxa negativa: $-kW$.
Common modeling phrases
- Proportional to the amount: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — exponential growth/decay.
- Proportional to the amount present and remaining: $\dfrac{dy}{dt}=ky(M-y)$ — logistic-type.
- Constant rate: $\dfrac{dy}{dt}=c$.
- Reading the phrase tells you the right-hand side.
Frases comuns de modelagem
- Proporcional à quantidade: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — crescimento/decaimento exponencial.
- Proporcional à quantidade presente e restante: $\dfrac{dy}{dt}=ky(M-y)$ — tipo logístico.
- Taxa constante: $\dfrac{dy}{dt}=c$.
- Ler a frase diz-lhe qual lado direito.
Match each phrase to its rate expression. · Associe cada frase à sua expressão de taxa.
Read the phrase to build the right-hand side. · Leia a frase para construir o lado direito.
A differential equation has a family of solutions
- Unlike an algebraic equation (one unknown number), a differential equation has an unknown function.
- Its solution is usually a family of functions (with a constant), not a single answer.
- A specific member is pinned down later by an initial condition (lesson 7.7).
- For now, the goal is just to write the equation from the situation.
Uma equação diferencial tem uma família de soluções
- Diferente de uma equação algébrica (um número desconhecido), uma equação diferencial tem uma função desconhecida.
- Sua solução é usualmente uma família de funções (com uma constante), não uma única resposta.
- Um membro específico é definido posteriormente por uma condição inicial (lição 7.7).
- Por enquanto, o objetivo é apenas escrever a equação a partir da situação.
$y=kt$ (with no derivative) is a differential equation. · $y=kt$ (sem derivada) é uma equação diferencial.
A differential equation must involve a derivative. · Uma equação diferencial deve envolver uma derivada.
The solution of a differential equation is usually a ____ of functions, not a single one. · A solução de uma equação diferencial geralmente é uma ____ de funções, não uma única.
A constant remains until an initial condition fixes it. · Uma constante permanece até que uma condição inicial a fixe.
A differential equation involves a derivative — it's a statement about a rate, not the quantity itself. "$y$ is proportional to $t$" ($y=kt$) is not a differential equation; "the rate of change of $y$ is proportional to $y$" ($\frac{dy}{dt}=ky$) is. Look for the "rate of change" language.
Uma equação diferencial envolve uma derivada — é uma afirmação sobre uma taxa, não a quantidade em si. "$y$ é proporcional a $t$" ($y=kt$) não é uma equação diferencial; "a taxa de variação de $y$ é proporcional a $y$" ($\frac{dy}{dt}=ky$) é. Procure pela linguagem de "taxa de variação".
"A tank's water drains at a rate proportional to the amount of water $W$." Write the model.
- Rate of change of $W$: $\dfrac{dW}{dt}$.
- Proportional to $W$, and draining (decreasing) → $\dfrac{dW}{dt}=-kW$ (with $k>0$).
- The negative sign encodes that the water is decreasing.
"A água de um tanque drena a uma taxa proporcional à quantidade de água $W$." Escreva o modelo.
- Taxa de variação de $W$: $\dfrac{dW}{dt}$.
- Proporcional a $W$, e drenando (diminuindo) → $\dfrac{dW}{dt}=-kW$ (com $k>0$).
- O sinal negativo codifica que a água está diminuindo.
A differential equation relates a function to its derivatives — it models a rate of change. Translate the words: "rate of change of $y$" is $\frac{dy}{dt}$, "proportional to $y$" is $ky$, and so on. Its solution is a family of functions, pinned down later by an initial condition.
Uma equação diferencial relaciona uma função às suas derivadas — ela modela uma taxa de variação. Traduza as palavras: "taxa de variação de $y$" é $\frac{dy}{dt}$, "proporcional a $y$" é $ky$, e assim por diante. Sua solução é uma família de funções, definida posteriormente por uma condição inicial.