Integrating Using Linear Partial Fractions · Integrando Usando Frações Parciais Lineares
| English | Português |
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| Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | Frações parciais |
| linear factor/ˈlɪnɪə ˈfæktə/ | fator linear |
Break one hard fraction into easy ones
- Some rational functions can't be integrated directly, but split apart they become simple logs.
- Partial fractions 部分分式 rewrites one fraction as a sum of smaller fractions.
- Each piece has a single linear factor 一次因式 in its denominator — easy to integrate as a $\ln$.
- It's the reverse of adding fractions over a common denominator.
Divida uma fração difícil em fáceis
- Algumas funções racionais não podem ser integradas diretamente, mas separadas tornam-se logs simples.
- Frações parciais 部分分式 reescreve uma fração como uma soma de frações menores.
- Cada peça tem um único fator linear 一次因式 em seu denominador — fácil de integrar como um $\ln$.
- É o inverso de somar frações sobre um denominador comum.
Set up the decomposition
- Start with a rational function whose denominator factors into distinct linear factors.
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ for constants $A,B$ to be found.
- Each distinct linear factor $(x-r)$ gets its own term $\dfrac{\text{constant}}{x-r}$.
- (The numerator's degree must be less than the denominator's — divide first if not.)
Configure a decomposição
- Comece com uma função racional cujo denominador fatora em fatores lineares distintos.
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ para constantes $A,B$ a serem encontradas.
- Cada fator linear distinto $(x-r)$ recebe seu próprio termo $\dfrac{\text{constant}}{x-r}$.
- (O grau do numerador deve ser menor que o do denominador — divida primeiro se não for.)
A rational function to split · Uma função racional para decompor
y = a / (x − b)
A fraction over $(x-1)(x+2)$ has two vertical asymptotes; partial fractions splits it into two simple $\ln$ pieces. · Uma fração sobre $(x-1)(x+2)$ tem duas assíntotas verticais; frações parciais a separam em duas peças simples $\ln$.
The partial-fraction form of $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ is... · A forma de frações parciais de $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ é...
One constant over each distinct linear factor. · Uma constante sobre cada fator linear distinto.
If the numerator degree is not less than the denominator degree, you must divide first. · Se o grau do numerador não for menor que o do denominador, você deve dividir primeiro.
Partial fractions needs a proper fraction. · Frações parciais precisam de uma fração própria.
This lesson handles denominators that factor into distinct ____ factors. · Esta lição trata de denominadores que fatoram em fatores lineares ____ distintos.
Distinct linear factors $(x-r)$. · Fatores lineares distintos $(x-r)$.
Solve for the constants
- Multiply both sides by the common denominator to clear fractions.
- Then find $A,B$ by matching coefficients or by plugging in the roots (a fast shortcut).
- For $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$: at $x=1$, $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$; at $x=-2$, $1=B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13$.
- Now the integral is a sum of simple pieces.
Resolva as constantes
- Multiplique ambos os lados pelo denominador comum para eliminar as frações.
- Depois encontre $A,B$ igualando coeficientes ou substituindo as raízes (um atalho rápido).
- Para $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$: em $x=1$, $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$; em $x=-2$, $1=B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13$.
- Agora a integral é uma soma de peças simples.
For · A favor $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$, find $A$ (plug $x=1$). · Para $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$, encontre $A$ (insira $x=1$).
At $x=1$: $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$. · Em $x=1$: $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$.
Integrate the pieces
- Each $\dfrac{A}{x-r}$ integrates to $A\ln|x-r|$.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx=\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C$.
- So a messy rational integral becomes a combination of logarithms.
- Combine or leave the logs as the answer prefers.
Integre as peças
- Cada $\dfrac{A}{x-r}$ integra para $A\ln|x-r|$.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx=\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C$.
- Então uma integral racional bagunçada torna-se uma combinação de logaritmos.
- Combine ou deixe os logs conforme a resposta prefere.
Each partial-fraction piece $\dfrac{A}{x-r}$ integrates to... · Cada peça de fração parcial $\dfrac{A}{x-r}$ integra para...
$\int\tfrac{A}{x-r}\,dx=A\ln|x-r|$.
$\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$ (with $A=1$, $B=-1$) equals... · $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$ (com $A=1$, $B=-1$) é igual a...
Integrate $\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}$. · Integre $\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}$.
Partial fractions needs the numerator degree less than the denominator's — if not, do long division first. And it requires the denominator to actually factor into linear pieces; a repeated factor $(x-r)^2$ or an irreducible quadratic needs extra terms (beyond this lesson's distinct linear case). Each distinct factor gets exactly one constant.
Frações parciais exigem que o grau do numerador seja menor que o do denominador — se não for, faça divisão longa primeiro. E exige que o denominador realmente fatore em peças lineares; um fator repetido $(x-r)^2$ ou um quadrático irredutível precisa de termos extras (além deste caso lineares distintos da lição). Cada fator distinto recebe exatamente uma constante.
Evaluate $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$.
- Decompose: $\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+4}$. At $x=1$: $5=5A\Rightarrow A=1$; at $x=-4$: $5=-5B\Rightarrow B=-1$.
- $\displaystyle\int\Big(\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}\Big)\,dx=\ln|x-1|-\ln|x+4|+C$.
Avalie $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$.
- Decompor: $\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+4}$. Em $x=1$: $5=5A\Rightarrow A=1$; em $x=-4$: $5=-5B\Rightarrow B=-1$.
- $\displaystyle\int\Big(\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}\Big)\,dx=\ln|x-1|-\ln|x+4|+C$.
Partial fractions splits a rational function with distinct linear factors into a sum $\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}+\cdots$; find the constants (match coefficients or plug in roots), then integrate each piece to a $\ln$. Requires numerator degree $<$ denominator degree — divide first otherwise.
Frações parciais decompõe uma função racional com fatores lineares distintos em uma soma $\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}+\cdots$; encontre as constantes (igualando coeficientes ou substituindo raízes), depois integre cada termo para obter um $\ln$. Exige que o grau do numerador seja $<$ o grau do denominador — divida primeiro caso contrário.