Integrating Using Substitution · Integrando Usando Substituição
| English | Português |
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| u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | substituição u |
The chain rule, run in reverse
- The chain rule made derivatives of composite functions. Integration must undo it.
- u-substitution 换元法 (or u-sub) is the reverse of the chain rule.
- It spots a composite function together with its inner derivative and simplifies by renaming.
- Master it and a huge class of otherwise-impossible integrals becomes routine.
A regra da cadeia, executada reversamente
- A regra da cadeia tornou derivadas de funções compostas. A integração deve desfazer isso.
- Substituição u 换元法 (ou u-sub) é o reverso da regra da cadeia.
- Ela identifica uma função composta juntamente com sua derivada interna e simplifica renomeando.
- Domine-a e uma vasta classe de integrais impossíveis tornam-se rotineiras.
u-substitution is the reverse of which differentiation rule? · u-substituição é o inverso de qual regra de diferenciação?
It undoes the chain rule. · Ela desfaz a regra da cadeia.
Rename the inner function as $u$
- Look for an inner function $g(x)$ whose derivative $g'(x)$ also appears (up to a constant) in the integrand.
- Let $u=g(x)$; then $du=g'(x)\,dx$.
- Rewrite the whole integral in terms of $u$ — the messy $x$-expression turns into a simple $u$-integral.
- Then integrate in $u$ and substitute back $u=g(x)$ at the end.
Renomeie a função interna como $u$
- Procure uma função interna $g(x)$ cuja derivada $g'(x)$ também apareça (até uma constante) no integrando.
- Seja $u=g(x)$; então $du=g'(x)\,dx$.
- Reescreva toda a integral em termos de $u$ — a expressão complicada de $x$ vira uma integral simples de $u$.
- Então integre em $u$ e substitua de volta $u=g(x)$ no final.
A composite ready for u-sub · Uma composta pronta para u-substituição
y = ax³ + bx
An integrand like $2x(x^2+1)^3$ hides an inner function and its derivative — the signal to substitute. · Um integrando como $2x(x^2+1)^3$ esconde uma função interna e sua derivada — o sinal para substituir.
For · A favor $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$, a good choice is $u=$ · Para $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$, uma boa escolha é $u=$
$u=x^2+1$ has $du=2x\,dx$, which is present. · $u=x^2+1$ tem $du=2x\,dx$, que está presente.
A clean example of the pattern
- $\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$. Inner function $u=x^2+1$, so $du=2x\,dx$.
- The $2x\,dx$ in the integral is exactly $du$ — a perfect match.
- The integral becomes $\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C$.
- Substitute back: $\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$.
Um exemplo limpo do padrão
- $\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$. Função interna $u=x^2+1$, então $du=2x\,dx$.
- O $2x\,dx$ na integral é exatamente $du$ — um ajuste perfeito.
- A integral torna-se $\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C$.
- Substitua de volta: $\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$.
$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ equals... · $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ é igual a...
$\int u^3\,du=\tfrac{u^4}{4}+C$, then back-substitute. · $\int u^3\,du=\tfrac{u^4}{4}+C$, então retrosubstitua.
Handle the constant, or the limits
- If $du$ is off by a constant factor, just multiply/divide to fix it (e.g. $x\,dx=\tfrac12\,du$).
- For a definite integral, either substitute back to $x$ before evaluating, or change the limits to $u$-values.
- Changing limits is cleaner: convert $a,b$ into $u(a),u(b)$ and never return to $x$.
- Always end an indefinite answer in terms of the original variable $x$.
Lide com a constante, ou os limites
- Se $du$ estiver errado por um fator de constante, basta multiplicar/dividir para corrigir (ex.: $x\,dx=\tfrac12\,du$).
- Para uma integral definida, substitua de volta para $x$ antes de avaliar, ou altere os limites para valores de $u$.
- Alterar os limites é mais limpo: converta $a,b$ em $u(a),u(b)$ e nunca retorne a $x$.
- Sempre termine uma resposta indeterminada em termos da variável original $x$.
Evaluate · Avaliar $\int_0^1 3x^2(x^3+1)^2\,dx$ (let $u=x^3+1$). Enter a decimal. · Avalie $\int_0^1 3x^2(x^3+1)^2\,dx$ (deixe $u=x^3+1$). Insira um decimal.
$\int_1^2 u^2\,du=\tfrac{8-1}{3}=\tfrac73\approx2.333$.
A correct u-substitution converts $dx$ entirely into $du$, leaving no stray $x$. · Uma u-substituição correta converte $dx$ inteiramente em $du$, deixando nenhum $x$ solto.
A leftover $x$ or · ou $dx$ is the classic mistake. · Um $x$ ou $dx$ restante é o erro clássico.
u-substitution works when the integrand contains the inner function's... · u-substituição funciona quando o integrando contém a ... da função interna
The inner derivative $g'(x)$ must be present (times a constant). · A derivada interna $g'(x)$ deve estar presente (vezes uma constante).
u-sub works only when the inner derivative is present (up to a constant). If $g'(x)$ isn't there, you can't just invent it. And don't forget to convert $dx$ into $du$ — leaving a stray $dx$ or a leftover $x$ is the classic error. For definite integrals, either change the limits or back-substitute, not a mix.
u-sub funciona apenas quando a derivada interna está presente (até uma constante). Se $g'(x)$ não estiver lá, você não pode simplesmente inventá-la. E não esqueça de converter $dx$ em $du$ — deixar um estranho $dx$ ou um restante $x$ é o erro clássico. Para integrais definidas, mude os limites ou volte à substituição, não uma mistura.
Evaluate $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,(x^3+1)^2\,dx$.
- Let $u=x^3+1$, so $du=3x^2\,dx$. Limits: $x=0\Rightarrow u=1$, $x=1\Rightarrow u=2$.
- Integral becomes $\displaystyle\int_1^2 u^2\,du=\Big[\tfrac{u^3}{3}\Big]_1^2=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}$.
Avalie $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,(x^3+1)^2\,dx$.
- Seja $u=x^3+1$, então $du=3x^2\,dx$. Limites: $x=0\Rightarrow u=1$, $x=1\Rightarrow u=2$.
- A integral torna-se $\displaystyle\int_1^2 u^2\,du=\Big[\tfrac{u^3}{3}\Big]_1^2=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}$.
u-substitution reverses the chain rule: set $u=g(x)$ (the inner function), replace $g'(x)\,dx$ with $du$, integrate in $u$, then substitute back (or change the limits for a definite integral). It works when the inner derivative appears up to a constant factor. Always convert $dx\to du$ fully.
Substituição u reversa a regra da cadeia: defina $u=g(x)$ (a função interna), substitua $g'(x)\,dx$ por $du$, integre em $u$, então substitua de volta (ou altere os limites para uma integral definida). Funciona quando a derivada interna aparece até um fator constante. Sempre converta $dx\to du$ completamente.