Applying Properties of Definite Integrals · Aplicando Propriedades de Integrais Definidas
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| linearity/lɪˈnɪərɪti/ | linearidade |
Rules that make integrals easier
- Definite integrals obey clean algebra — the same friendly rules limits and derivatives have.
- These properties let you split, combine, and rearrange integrals without recomputing areas.
- Most follow directly from "integral = signed area."
- Learn the handful here and hard-looking integrals often simplify in one step.
Regras de que facilitam integrais
- Integrais definidas seguem uma álgebra limpa — as mesmas regras amigáveis dos limites e derivadas.
- Essas propriedades permitem dividir, combinar e rearranjar integrais sem recalcular áreas.
- A maioria segue diretamente de "integral = área assinada".
- Aprenda este pequeno conjunto e integrais de aparência difícil frequentemente se simplificam em um passo.
$\int fg\,dx$ equals $\left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$. · $\int fg\,dx$ é igual a $\left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$.
There is no product rule for integrals. · Não existe regra do produto para integrais.
Linearity: split sums and pull out constants
- Constant multiple: $\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$.
- Sum / difference: $\displaystyle\int_a^b \big(f\pm g\big)\,dx = \int_a^b f\,dx \pm \int_a^b g\,dx$.
- Together these are linearity 线性 — integrate term by term, coefficients out front.
- Just like differentiation, you handle a combination one piece at a time.
Linearidade: divida somas e extraia constantes
- Multiplicação por constante: $\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$.
- Soma / diferença: $\displaystyle\int_a^b \big(f\pm g\big)\,dx = \int_a^b f\,dx \pm \int_a^b g\,dx$.
- Juntos, estes são a linearidade 线性 — integre termo a termo, coeficientes na frente.
- Assim como na diferenciação, você lida com uma combinação peça por peça.
Given $\int_0^4 f\,dx=10$ and · e $\int_0^4 g\,dx=3$, find $\int_0^4 (2f-g)\,dx$. · Dado $\int_0^4 f\,dx=10$ e $\int_0^4 g\,dx=3$, encontre $\int_0^4 (2f-g)\,dx$.
$2(10)-3=17$.
Zero width and swapping limits
- Zero width: $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ — no interval, no area.
- Swap the limits: $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ — reversing direction negates it.
- So the order of the limits carries a sign.
- These two keep bookkeeping consistent when limits move around.
Largura zero e inversão de limites
- Largura zero: $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ — nenhum intervalo, nenhuma área.
- Inverta os limites: $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ — inverter a direção negativa o valor.
- Então a ordem dos limites carrega um sinal.
- Essas duas mantêm o controle consistente quando os limites mudam de lugar.
What is $\int_5^5 f(x)\,dx$ for any $f$? · Qual é $\int_5^5 f(x)\,dx$ para qualquer $f$?
Zero width interval → $0$. · Intervalo de largura zero → $0$.
If $\int_1^4 f\,dx=7$, then $\int_4^1 f\,dx=$ · Se $\int_1^4 f\,dx=7$, então $\int_4^1 f\,dx=$
Swapping limits negates: $-7$. · Inverter limites nega: $-7$.
Select all · todos valid definite-integral properties. · Selecione todas as propriedades válidas de integral definida.
The first three hold; the product "rule" is false. · As três primeiras valem; a 'regra' do produto é falsa.
Splitting an interval
- Adjacent intervals: $\displaystyle\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$.
- You can break one integral into pieces at any interior point $b$ and add them.
- This is essential for piecewise integrands and for using given sub-areas.
- It also runs backward: combine two adjacent integrals into one.
Divisão de um intervalo
- Intervalos adjacentes: $\displaystyle\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$.
- Você pode quebrar uma integral em pedaços em qualquer ponto interno $b$ e somá-los.
- Isso é essencial para integrandos por partes e para usar áreas dadas.
- Ela também funciona no sentido inverso: combine duas integrais adjacentes em uma só.
Split the area at an interior point · Dividir a área em um ponto interno
y = x²
The area from $a$ to · até $c$ equals the area from $a$ to · até $b$ plus $b$ to · até $c$ — integrals split over adjacent intervals. · A área de $a$ a $c$ é igual à área de $a$ a $b$ mais $b$ a $c$ — integrais se dividem sobre intervalos adjacentes.
If $\int_0^2 f\,dx=5$ and · e $\int_2^6 f\,dx=8$, find $\int_0^6 f\,dx$. · Se $\int_0^2 f\,dx=5$ e $\int_2^6 f\,dx=8$, encontre $\int_0^6 f\,dx$.
Adjacent intervals add: $5+8=13$. · Intervalos adjacentes somam: $5+8=13$.
There is no "product rule" for integrals: $\int fg\,dx \neq \left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$. Linearity only splits across sums and constant multiples, never products or quotients. And remember swapping the limits flips the sign — a very easy point to drop.
Não existe "regra do produto" para integrais: $\int fg\,dx \neq \left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$. A linearidade só divide entre sombras e multiplicações por constantes, nunca produtos ou quocientes. E lembre-se de que inverter os limites inverte o sinal — um ponto muito fácil de esquecer.
Given $\displaystyle\int_0^4 f\,dx=10$ and $\displaystyle\int_0^4 g\,dx=3$, find $\displaystyle\int_0^4\big(2f-g\big)\,dx$.
- Linearity: $\displaystyle\int_0^4 2f\,dx - \int_0^4 g\,dx = 2\int_0^4 f\,dx - \int_0^4 g\,dx$.
- $=2(10)-3=17$.
- No need to know $f$ or $g$ themselves — the properties do it.
Dado $\displaystyle\int_0^4 f\,dx=10$ e $\displaystyle\int_0^4 g\,dx=3$, encontre $\displaystyle\int_0^4\big(2f-g\big)\,dx$.
- Linearidade: $\displaystyle\int_0^4 2f\,dx - \int_0^4 g\,dx = 2\int_0^4 f\,dx - \int_0^4 g\,dx$.
- $=2(10)-3=17$.
- Não é necessário saber $f$ ou $g$ themselves — as propriedades fazem isso.
Definite-integral properties: linearity ($\int kf = k\int f$; $\int (f\pm g)=\int f\pm\int g$), zero width ($\int_a^a f=0$), swapping limits negates ($\int_b^a f=-\int_a^b f$), and splitting ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$). There is no product rule for integrals.
Propriedades da integral definida: linearidade ($\int kf = k\int f$; $\int (f\pm g)=\int f\pm\int g$), largura zero ($\int_a^a f=0$), inversão de limites nega ($\int_b^a f=-\int_a^b f$) e divisão ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$). Não existe regra do produto para integrais.