Using the First Derivative Test to Determine Relative (Local) Extrema · Usando o Teste da Derivada Primeira para Determinar Extremos Relativos (Locais)
| English | Português |
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| First Derivative Test/fɜːst dɪˈrɪvətɪv test/ | Teste da Derivada Primeira |
| relative (local) maximum/ˈrelətɪv ˈmæksɪməm/ | máximo local (relativo) |
| relative (local) minimum/ˈrelətɪv ˈmɪnɪməm/ | mínimo local (relativo) |
Classify a critical point by how $f'$ turns
- A critical point is a candidate extremum — now we decide which kind it is.
- The First Derivative Test 一阶导数判别法 reads the sign change of $f'$ across the point.
- Uphill-then-downhill makes a peak; downhill-then-uphill makes a valley.
- It reuses your sign chart from the last lesson — no new computation.
Classifique um ponto crítico pela forma como $f'$ vira
- Um ponto crítico é um extremo candidato — agora decidimos qual tipo é.
- O Teste da Primeira Derivada 一阶导数判别法 lê a mudança de sinal de $f'$ através do ponto.
- Subir-depois-descer faz um pico; descer-depois-subir faz um vale.
- Reutiliza seu gráfico de sinais da última lição — nenhum novo cálculo.
Positive → negative means a max
- If $f'$ changes from positive to negative at a critical point $c$, then $f$ has a relative (local) maximum 局部最大值 there.
- The function was climbing, levels off, then falls — the top of a hill.
- Read it straight off the sign chart: a $+$ to the left of $c$, a $-$ to the right.
- The maximum value is $f(c)$; the location is $x=c$.
Positivo → negativo significa um máximo
- Se $f'$ muda de positivo para negativo em um ponto crítico $c$, então $f$ tem um máximo relativo (local) 局部最大值 ali.
- A função estava subindo, nivelou e depois caiu — o topo de uma colina.
- Leia direto do gráfico de sinais: um $+$ à esquerda de $c$, um $-$ à direita.
- O valor do máximo é $f(c)$; a posição é $x=c$.
A max then a min · Um máximo seguido de um mínimo
y = ax³ + cx
The left hump is a local max ($f'$ goes $+$ to · até $-$) and the right dip a local min ($-$ to · até $+$). · A protuberância esquerda é um máximo local ($f'$ vai de $+$ para $-$) e a depressão direita um mínimo local ($-$ para $+$).
If $f'$ changes from positive to negative at $c$, then $f$ has a... · Se $f'$ muda de positivo para negativo em $c$, então $f$ tem um...
Up then down = the top of a hill = local max. · Para cima depois para baixo = topo de uma colina = máximo local.
Negative → positive means a min
- If $f'$ changes from negative to positive at $c$, then $f$ has a relative (local) minimum 局部最小值 there.
- Falling, levels off, then climbing — the bottom of a valley.
- Sign chart: a $-$ left of $c$, a $+$ right of $c$.
- If $f'$ does not change sign at $c$, there is no extremum there (a flat spot).
Negativo → positivo significa um mínimo
- Se $f'$ muda de negativo para positivo em $c$, então $f$ tem um mínimo relativo (local) 局部最小值 ali.
- Descendo, nivelando, depois subindo — o fundo de um vale.
- Gráfico de sinais: um $-$ à esquerda de $c$, um $+$ à direita de $c$.
- Se $f'$ não muda de sinal em $c$, não há extremo ali (um ponto plano).
If $f'$ changes from negative to positive at $c$, then $f$ has a local ____ there. · Se $f'$ muda de negativo para positivo em $c$, então $f$ tem um local ____ ali.
Down then up = bottom of a valley = local min. · Para baixo depois para cima = fundo de um vale = mínimo local.
The routine
- Find critical points, build the sign chart of $f'$, and read each crossing.
- $+\to-$: local max. $-\to+$: local min. No change: neither.
- Works even where $f'$ is undefined (a corner), as long as the sign flips.
- This is the AP's most-used tool for classifying extrema.
A rotina
- Encontre pontos críticos, construa o gráfico de sinais de $f'$, e leia cada travessia.
- $+\to-$: máximo local. $-\to+$: mínimo local. Sem mudança: nenhum dos dois.
- Funciona mesmo onde $f'$ está indefinido (um canto), desde que o sinal mude.
- Esta é a ferramenta mais usada pelo AP para classificar extremos.
If $f'$ has the same sign on both sides of a critical point, there is no extremum there. · Se $f'$ tem o mesmo sinal em ambos os lados de um ponto crítico, não há extremo ali.
No sign change (like $y=x^3$ at $0$) means no max or min. · Sem mudança de sinal (como $y=x^3$ em $0$) significa sem máximo nem mínimo.
For · A favor $f(x)=x^3-3x$, the critical point $x=1$ is a... · Para $f(x)=x^3-3x$, o ponto crítico $x=1$ é um...
$f'$ goes $-\to+$ at $x=1$ → local min. · $f'$ vai de $-\to+$ em $x=1$ → mínimo local.
For · A favor $f(x)=x^3-3x$, the local max is at $x=-1$. Find the max value $f(-1)$. · Para $f(x)=x^3-3x$, o máximo local está em $x=-1$. Encontre o valor do máximo $f(-1)$.
$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$.
Select all · todos true statements about the First Derivative Test. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre o Teste da Derivada Primeira.
It is the change of sign that matters, not the value at $c$. · É a mudança de sinal que importa, não o valor em $c$.
It's the change in sign that matters, not the value of $f'$ at $c$ (which is $0$ or undefined there). If $f'$ keeps the same sign on both sides — like $y=x^3$ at $0$ (positive on both sides) — there is no extremum, even though it's a critical point.
É a mudança de sinal que importa, não o valor de $f'$ em $c$ (que é $0$ ou indefinido ali). Se $f'$ mantém o mesmo sinal em ambos os lados — como $y=x^3$ em $0$ (positivo em ambos os lados) — não há nenhum extremo, embora seja um ponto crítico.
Classify the critical points of $f(x)=x^3-3x$ ($f'=3(x-1)(x+1)$).
- At $x=-1$: $f'$ goes $+\to-$ (test $-2$ gives $+$, test $0$ gives $-$) → local max.
- At $x=1$: $f'$ goes $-\to+$ (test $0$ gives $-$, test $2$ gives $+$) → local min.
- Values: local max $f(-1)=2$, local min $f(1)=-2$.
Classifique os pontos críticos de $f(x)=x^3-3x$ ($f'=3(x-1)(x+1)$).
- Em $x=-1$: $f'$ vai de $+\to-$ (teste $-2$ dá $+$, teste $0$ dá $-$) → máximo local.
- Em $x=1$: $f'$ vai de $-\to+$ (teste $0$ dá $-$, teste $2$ dá $+$) → mínimo local.
- Valores: máximo local $f(-1)=2$, mínimo local $f(1)=-2$.
The First Derivative Test classifies a critical point by the sign change of $f'$: $+\to-$ is a local maximum, $-\to+$ is a local minimum, and no sign change means no extremum. Just read the crossings off your $f'$ sign chart.
O Teste da Primeira Derivada classifica um ponto crítico pela mudança de sinal de $f'$: $+\to-$ é um máximo local, $-\to+$ é um mínimo local, e sem mudança de sinal significa sem extremo. Basta ler as travessias do seu gráfico de sinais $f'$.