Differentiating Inverse Functions · Diferenciando Funções Inversas
| English | Português |
|---|---|
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | função inversa |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | recíprocas |
Slopes of a function and its mirror
- An inverse function 反函数 $f^{-1}$ undoes $f$: it reflects the graph across the line $y=x$.
- Reflecting swaps the roles of rise and run — so it flips the slope upside down.
- That gives a neat shortcut: you can find the inverse's derivative from the original's.
- Best of all, you often don't need a formula for $f^{-1}$ at all.
Inclinações de uma função e seu espelho
- Uma função inversa 反函数 $f^{-1}$ desfaz $f$: ela reflete o gráfico através da linha $y=x$.
- Refletir inverte os papéis de elevação e avanço — então inverte a inclinação.
- Isso oferece um atalho elegante: você pode encontrar a derivada da inversa a partir da original.
- O melhor de tudo é que muitas vezes você não precisa de uma fórmula para $f^{-1}$ nem ao menos.
The reciprocal-slope rule
- At matching points, the slopes of $f$ and $f^{-1}$ are reciprocals 倒数.
-
$$\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}$$
- Read it as: the inverse's slope at $x$ is $1$ divided by $f$'s slope at the matching input.
- The matching input is $f^{-1}(x)$ — the point on $f$ that maps to $x$.
A regra da inclinação recíproca
- Em pontos correspondentes, as inclinações de $f$ e $f^{-1}$ são recíprocas 倒数.
-
$$\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}$$
- Leia como: a inclinação da inversa em $x$ é $1$ dividido pela inclinação de $f$ na entrada correspondente.
- A entrada correspondente é $f^{-1}(x)$ — o ponto em $f$ que mapeia para $x$.
The derivative of an inverse is $\big(f^{-1}\big)'(x)=$ · A derivada de uma inversa é $\big(f^{-1}\big)'(x)=$
One over the original derivative at the matching input $f^{-1}(x)$. · Um sobre a derivada original no ponto de entrada correspondente $f^{-1}(x)$.
Evaluate without inverting
- Usually you only need the derivative at one point, and you can skip finding $f^{-1}$.
- Say $f(2)=5$ and $f'(2)=3$. Then the point $(5,2)$ is on $f^{-1}$, so $f^{-1}(5)=2$.
- Apply the rule: $\big(f^{-1}\big)'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
- You never needed a formula — just the matching pair and one derivative value.
Avaliar sem inverter
- Geralmente você só precisa da derivada em um ponto, e pode pular encontrar $f^{-1}$.
- Digamos $f(2)=5$ e $f'(2)=3$. Então o ponto $(5,2)$ está em $f^{-1}$, logo $f^{-1}(5)=2$.
- Aplique a regra: $\big(f^{-1}\big)'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
- Você nunca precisou de uma fórmula — apenas do par correspondente e de um valor de derivada.
If $f(2)=5$ and · e $f'(2)=4$, find $\big(f^{-1}\big)'(5)$. · Se $f(2)=5$ e $f'(2)=4$, encontre $\big(f^{-1}\big)'(5)$.
$f^{-1}(5)=2$, so $\big(f^{-1}\big)'(5)=\tfrac{1}{f'(2)}=\tfrac14$. · $f^{-1}(5)=2$, logo $\big(f^{-1}\big)'(5)=\tfrac{1}{f'(2)}=\tfrac14$.
To compute $\big(f^{-1}\big)'(c)$ at a point, which do you need? · Para calcular $\big(f^{-1}\big)'(c)$ em um ponto, qual você precisa?
You need the matching input and $f'$ there (nonzero, so the reciprocal exists) — no full inverse formula. · Você precisa do ponto de entrada correspondente e $f'$ ali (não nulo, para que o recíproco exista) — sem fórmula inversa completa.
Why reciprocal? See the reflection
- Reflecting across $y=x$ turns a "rise of $3$ over run of $1$" into a "rise of $1$ over run of $3$."
- So a slope of $3$ becomes a slope of $\tfrac13$ — literally flipped.
- This is why $f$ and $f^{-1}$ have reciprocal slopes at corresponding points.
- (It also warns you: if $f'=0$ at a point, the inverse has a vertical tangent there — its slope is undefined.)
Por que recíproco? Veja a reflexão
- Refletir através de $y=x$ transforma um "elevação de $3$ sobre avanço de $1$" em um "elevação de $1$ sobre avanço de $3$."
- Então uma inclinação de $3$ se torna uma inclinação de $\tfrac13$ — literalmente invertida.
- É por isso que $f$ e $f^{-1}$ têm inclinações recíprocas em pontos correspondentes.
- (Isso também avisa: se $f'=0$ for zero em um ponto, a inversa terá uma tangente vertical ali — sua inclinação será indefinida.)
A slope and its reciprocal · Uma inclinação e seu recíproco
y = x³ + 1
Reflecting a curve across $y=x$ flips rise and run — a slope of $3$ becomes $\tfrac13$ on the inverse. · Refletir uma curva através de $y=x$ inverte elevação e avanço — uma inclinação de $3$ torna-se $\tfrac13$ na inversa.
To find $\big(f^{-1}\big)'(5)$, you evaluate $f'$ at $5$. · Para encontrar $\big(f^{-1}\big)'(5)$, você avalia $f'$ em $5$.
You evaluate $f'$ at the matching input $f^{-1}(5)$, not at $5$. · Você avalia $f'$ no ponto de entrada correspondente $f^{-1}(5)$, não em $5$.
At corresponding points, the slopes of $f$ and · e $f^{-1}$ are ____ of each other. · Em pontos correspondentes, as inclinações de $f$ e $f^{-1}$ são ____ uma da outra.
Reflection across $y=x$ flips the slope. · Reflexão através de $y=x$ inverte a inclinação.
If $f'(a)=0$ at the matching input, the inverse at the corresponding point has... · Se $f'(a)=0$ no ponto de entrada correspondente, a inversa no ponto correspondente tem...
Dividing by $0$ is undefined — the reflected tangent is vertical. · Dividir por $0$ é indefinido — a tangente refletida é vertical.
Use the derivative of $f$ at the matching input $f^{-1}(x)$, not at $x$ itself. For $\big(f^{-1}\big)'(5)$ you need $f'$ at the input that maps to $5$, i.e. $f'(f^{-1}(5))$, not $f'(5)$. Plugging $5$ straight into $f'$ is the classic error.
Use a derivada de $f$ na entrada correspondente $f^{-1}(x)$, não em $x$. Para $\big(f^{-1}\big)'(5)$ você precisa de $f'$ na entrada que mapeia para $5$, ou seja, $f'(f^{-1}(5))$, não $f'(5)$. Colocar $5$ diretamente em $f'$ é o erro clássico.
$f(x)=x^3+1$ has $f(1)=2$ and $f'(x)=3x^2$. Find $\big(f^{-1}\big)'(2)$.
- The matching input: $f^{-1}(2)=1$ (since $f(1)=2$).
- $f'(1)=3(1)^2=3$.
- $\big(f^{-1}\big)'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3}$.
$f(x)=x^3+1$ tem $f(1)=2$ e $f'(x)=3x^2$. Encontre $\big(f^{-1}\big)'(2)$.
- A entrada correspondente: $f^{-1}(2)=1$ (já que $f(1)=2$).
- $f'(1)=3(1)^2=3$.
- $\big(f^{-1}\big)'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3}$.
The derivative of an inverse function is the reciprocal of the original's derivative at the matching point: $\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Reflection across $y=x$ swaps rise and run, flipping the slope. You can evaluate it at a point using just a matching pair — no formula for $f^{-1}$ required.
A derivada de uma função inversa é o recíproco da derivada original no ponto correspondente: $\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. A reflexão através de $y=x$ inverte elevação e avanço, invertendo a inclinação. Você pode avaliá-la em um ponto usando apenas um par correspondente — nenhuma fórmula para $f^{-1}$ é necessária.