Sketching Graphs of Functions and Their Derivatives · Esboçando Gráficos de Funções e Suas Derivadas
Draw the whole shape from its derivatives
- The derivatives are a recipe for a graph: $f'$ gives the slopes, $f''$ gives the bends.
- Combine the two sign charts and you can sketch a curve you were never handed.
- Extrema come from $f'$; concavity and inflection come from $f''$.
- This is where all of Unit 5 comes together into one picture.
Desenhe a forma inteira a partir de suas derivadas
- As derivadas são uma receita para um gráfico: $f'$ dá as inclinações, $f''$ dá as dobras.
- Combine os dois quadros de sinais e você poderá esboçar uma curva que nunca lhe foi dada.
- Extremos vêm de $f'$; concavidade e inflexão vêm de $f''$.
- É aqui que tudo na Unidade 5 se junta em uma única imagem.
The information you assemble
- From $f'$: intervals of increase/decrease and the extrema (where $f'$ changes sign).
- From $f''$: intervals of concavity and the points of inflection (where $f''$ changes sign).
- Plus a few plotted points and any intercepts to anchor the height.
- Layer these together and the shape is forced.
As informações que você reúne
- De $f'$: intervalos de crescimento/decrescimento e os extremos (onde $f'$ muda de sinal).
- De $f''$: intervalos de concavidade e os pontos de inflexão (onde $f''$ muda de sinal).
- Mais alguns pontos plotados e quaisquer interceptos para âncorar a altura.
- Sobreponha essas informações e a forma é imposta.
A local extremum of $f$ occurs at a ____ of $f'$ where it changes sign. · Um extremo local de $f$ ocorre em um ____ de $f'$ onde ele muda de sinal.
A sign-changing zero of $f'$ marks an extremum of $f$. · Um zero com mudança de sinal de $f'$ marca um extremo de $f$.
Which features come from $f''$ (the second derivative)? · Quais características vêm de $f''$ (a derivada segunda)?
Concavity + inflection from $f''$; increase/decrease + extrema from $f'$. · Concavidade + inflexões vêm de $f''$; aumento/decréscimo + extremos vêm de $f'$.
Sketching $f'$ from $f$, and back
- Given the graph of $f$: where $f$ has a horizontal tangent, $f'=0$ (a zero of $f'$).
- Where $f$ rises, $f'$ is positive; where $f$ falls, $f'$ is negative.
- Where $f$ is steepest, $f'$ is at an extreme; at an inflection of $f$, $f'$ has a max or min.
- Reverse the reading to sketch $f$ from a given $f'$.
Esboçando $f'$ a partir de $f$, e vice-versa
- Dado o gráfico de $f$: onde $f$ tem uma tangente horizontal, $f'=0$ (um zero de $f'$).
- Onde $f$ sobe, $f'$ é positiva; onde $f$ desce, $f'$ é negativa.
- Onde $f$ é mais íngreme, $f'$ está em um extremo; num ponto de inflexão de $f$, $f'$ tem um máx ou mín.
- Inverta a leitura para esboçar $f$ a partir de um $f'$ dado.
Where the graph of $f$ has a horizontal tangent, the graph of $f'$... · Onde o gráfico de $f$ tem uma tangente horizontal, o gráfico de $f'$...
Horizontal tangent ⇒ slope $0$ ⇒ $f'=0$. · Tangente horizontal ⇒ inclinação $0$ ⇒ $f'=0$.
Where · Onde $f$ is increasing, its derivative $f'$ is positive. · Onde $f$ é crescente, sua derivada $f'$ é positiva.
Rising ⇔ $f'>0$. · Crescente ⇔ $f'>0$.
Put the marks on the sketch
- Mark each extremum (peak/valley), each inflection point (bend flip), and label the intervals.
- Match increasing+concave-up (curving up steeply) vs. increasing+concave-down (leveling off), and so on — four combinations.
- Check consistency: a local max should sit where increase turns to decrease and the curve is concave down.
- A clean sketch shows all four features agreeing.
Coloque as marcas no esboço
- Marque cada extremo (pico/vale), cada ponto de inflexão (inversão da dobra) e rotule os intervalos.
- Combine crescente+cóncavo para cima (curvando-se para cima rapidamente) vs. crescente+cóncavo para baixo ( nivelando-se), e assim por diante — quatro combinações.
- Verifique a consistência: um máximo local deve estar onde o crescimento vira decrescimento e a curva é côncava para baixo.
- Um esboço limpo mostra todos os quatro recursos concordando.
The finished shape · A forma final
y = ax³ + cx
Peak at $(-1,2)$, inflection at $(0,0)$, valley at $(1,-2)$ — exactly what the $f'$ and · e $f''$ charts predict. · Pico em $(-1,2)$, inflexão em $(0,0)$, vale em $(1,-2)$ — exatamente o que os gráficos de $f'$ e $f''$ preveem.
At a point where $f$ is high but flat, the value of $f'$ is... · Num ponto onde $f$ é alto mas plano, o valor de $f'$ é...
Read the slope, not the height: flat ⇒ $f'=0$. · Leia a inclinação, não a altura: plano ⇒ $f'=0$.
A local maximum should occur where $f$ turns from increasing to decreasing and the curve is concave... · Um máximo local deveria ocorrer onde $f$ muda de crescente para decrescente e a curva é côncava...
A peak is concave down (a cap). · Um pico é côncavo para baixo (uma cúpula).
Don't read $f'$ off the height of $f$ — read it off the slope. Where $f$ is high but flat, $f'=0$, not "large." And a zero of $f'$ marks a possible extremum of $f$; a zero of $f''$ marks a possible inflection of $f$ — keep the two levels straight.
Não leia $f'$ a partir da altura de $f$ — leia-a a partir da inclinação. Onde $f$ é alto mas plano, $f'=0$, não "grande". E um zero de $f'$ marca um possível extremo de $f$; um zero de $f''$ marca um possível ponto de inflexão de $f$ — mantenha os dois níveis separados.
Sketch clues for $f(x)=x^3-3x$.
- $f'=3(x-1)(x+1)$: increasing on $(-\infty,-1)$ and $(1,\infty)$, decreasing on $(-1,1)$; max at $(-1,2)$, min at $(1,-2)$.
- $f''=6x$: concave down for $x<0$, concave up for $x>0$; inflection at $(0,0)$.
- The sketch: rises to a peak at $(-1,2)$, falls through $(0,0)$, dips to $(1,-2)$, then rises.
Dicas de esboço para $f(x)=x^3-3x$.
- $f'=3(x-1)(x+1)$: crescendo em $(-\infty,-1)$ e $(1,\infty)$, decrescendo em $(-1,1)$; máx em $(-1,2)$, mín em $(1,-2)$.
- $f''=6x$: cóncavo para baixo para $x<0$, cóncavo para cima para $x>0$; inflexão em $(0,0)$.
- O esboço: sobe até um pico em $(-1,2)$, desce através de $(0,0)$, desce até $(1,-2)$, depois sobe.
To sketch a graph, combine what $f'$ says (increase/decrease and extrema) with what $f''$ says (concavity and inflection points), plus a few anchor points. Read $f'$ from the slope of $f$ (not its height); a zero of $f'$ is a possible extremum, a zero of $f''$ a possible inflection.
Para esboçar um gráfico, combine o que $f'$ diz (crescimento/decrescimento e extremos) com o que $f''$ diz (concavidade e pontos de inflexão), mais alguns pontos âncora. Leia $f'$ a partir da inclinação de $f$ (não sua altura); um zero de $f'$ é um possível extremo, um zero de $f''$ um possível ponto de inflexão.