Removing Discontinuities · Removendo Descontinuidades
| English | Português |
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| piecewise function/ˈpiːswaɪz ˈfʌŋkʃn/ | função definida por partes |
Patching a hole
- A removable discontinuity is a hole where the limit exists but the value is wrong or missing.
- Since the limit is a perfectly good number, you can redefine the function at that one point to fill the hole.
- Set the point's value equal to the limit — the curve now flows through smoothly.
- This is repairing continuity: possible only for the removable type.
Remendar um buraco
- Uma descontinuidade removível é um buraco onde o limite existe, mas o valor está errado ou ausente.
- Como o limite é um número perfeitamente válido, você pode redefinir a função nesse único ponto para preencher o buraco.
- Defina o valor do ponto igual ao limite — a curva agora flui suavemente.
- Isso é reparar a continuidade: possível apenas para o tipo removível.
The curve behind the hole · A curva atrás do buraco
y = x + 3
The cancelled function $y=x+3$ is a straight line — filling the hole just plots the point the line already passes through. · A função cancelada $y=x+3$ é uma linha reta — preencher o buraco apenas plota o ponto que a linha já passa.
Solving for a mystery constant
- Often a piecewise function 分段函数 has an unknown constant $k$, and you must pick $k$ to make it continuous.
- The rule is condition (3): make the limit equal the value at the seam.
- Set the two pieces equal at the join point and solve for $k$.
- One equation, one unknown — clean algebra.
Resolver para uma constante misteriosa
- Frequentemente, uma função definida por partes 分段函数 tem uma constante desconhecida $k$, e você deve escolher $k$ para torná-la contínua.
- A regra é a condição (3): faça o limite ser igual ao valor na junção.
- Iguale as duas partes no ponto de junção e resolva para $k$.
- Uma equação, uma incógnita — álgebra limpa.
To make a piecewise function continuous at the seam, set the limit equal to the function ____. · Para tornar uma função definida por partes contínua na junção, iguale o limite ao valor da função ____.
That is continuity condition (3): limit $=$ value. · Isso é a condição de continuidade (3): limite $=$ valor.
A worked pattern
- Suppose $f(x)=\begin{cases}x+k,&x;<2\\3x-1,&x;\ge2\end{cases}$ is to be continuous at $x=2$.
- Left limit: $2+k$. Right value: $3(2)-1=5$.
- Continuity needs $2+k=5$, so $k=3$.
- With $k=3$ the two pieces meet exactly — no jump, a continuous function.
Um padrão resolvido
- Suponha que $f(x)=\begin{cases}x+k,&x;<2\\3x-1,&x;\ge2\end{cases}$ deva ser contínua em $x=2$.
- Limite à esquerda: $2+k$. Valor à direita: $3(2)-1=5$.
- A continuidade requer $2+k=5$, então $k=3$.
- Com $k=3$, as duas partes se encontram exatamente — sem salto, uma função contínua.
For · A favor $f(x)=\begin{cases}x+k,&x;<2\\3x-1,&x;\ge2\end{cases}$ continuous at $x=2$, find $k$. · Para $f(x)=\begin{cases}x+k,&x;<2\\3x-1,&x;\ge2\end{cases}$ ser contínua em $x=2$, encontre $k$.
Set pieces equal at $2$: $2+k=5\Rightarrow k=3$. · Igualar as partes em $2$: $2+k=5\Rightarrow k=3$.
Know what cannot be fixed
- Only removable holes are repairable — the limit must already exist.
- A jump (unequal one-sided limits) has a gap of real width: no single redefinition closes it.
- An infinite discontinuity blows up: no value tames an asymptote.
- So first classify; if the two-sided limit is missing, the discontinuity is permanent.
Saiba o que não pode ser consertado
- Apenas buracos removíveis são reparáveis — o limite já deve existir.
- Uma descontinuidade saltada (limites laterais desiguais) tem uma lacuna de largura real: nenhuma redefinição única a fecha.
- Uma descontinuidade infinita explode: nenhum valor acalma uma assíntota.
- Então, primeiro classifique; se o limite bilateral estiver ausente, a descontinuidade é permanente.
Which discontinuity can be removed by redefining a single point? · Qual descontinuidade pode ser removida redefinindo um único ponto?
Only the removable type has a two-sided limit to match; jumps and blow-ups cannot be fixed. · Apenas o tipo removível tem um limite bilateral para combinar; saltos e explosões não podem ser consertados.
Redefining $f(c)$ can create a two-sided limit that did not exist before. · Redefinir $f(c)$ pode criar um limite bilateral que não existia antes.
A single point does not affect the limit; if the sides disagree, redefining changes nothing. · Um único ponto não afeta o limite; se os lados discordarem, redefinir não muda nada.
Select all · todos discontinuities that cannot be removed. · Selecione todas as descontinuidades que não podem ser removidas.
Anything without a two-sided limit is permanent; only the removable hole can be filled. · Tudo sem um limite bilateral é permanente; apenas o buraco removível pode ser preenchido.
You can only "remove" a discontinuity where the two-sided limit already exists. If the left and right limits differ, setting $f(c)$ to any number still leaves the sides disagreeing — the function stays discontinuous. Redefining a point never creates a limit that wasn't there.
Você só pode "remover" uma descontinuidade onde o limite bilateral já existe. Se os limites esquerdo e direito divergirem, definir $f(c)$ para qualquer número ainda deixará os lados discordando — a função permanecerá descontínua. Redefinir um ponto nunca cria um limite que não estava lá.
To remove the hole of $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ at $x=5$, define $f(5)$ equal to the limit. What value? · Para remover o buraco de $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ em $x=5$, defina $f(5)$ igual ao limite. Qual valor?
Limit $=\lim_{x\to5}(x+5)=10$, so $f(5)=10$. · Limite $=\lim_{x\to5}(x+5)=10$, então $f(5)=10$.
Find $c$ so that $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3},&x;\neq3\\ c,&x;=3\end{cases}$ is continuous at $x=3$.
- The limit: $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$.
- Continuity requires $c=\lim_{x\to3}f(x)=6$.
- Setting $c=6$ fills the hole; $f$ is now continuous at $3$.
Encontre $c$ para que $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3},&x;\neq3\\ c,&x;=3\end{cases}$ seja contínua em $x=3$.
- O limite: $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$.
- A continuidade exige $c=\lim_{x\to3}f(x)=6$.
- Definir $c=6$ preenche o buraco; $f$ agora é contínua em $3$.
A removable discontinuity is repaired by redefining $f(c)$ to equal the (existing) limit. For a piecewise function with an unknown constant, set the pieces equal at the join — limit $=$ value — and solve. Jump and infinite discontinuities have no two-sided limit, so they cannot be removed.
Uma descontinuidade removível é reparada redefinindo $f(c)$ para ser igual ao (existente) limite. Para uma função definida por partes com uma constante desconhecida, iguale as partes na junção — limite $=$ valor — e resolva. Descontinuidades saltadas e infinitas não possuem limite bilateral, portanto não podem ser removidas.