Determining Limits Using Algebraic Manipulation · Determinando Limites Usando Manipulação Algébrica
| English | Português |
|---|---|
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | equivalente |
| factoring/ˈfæktərɪŋ/ | fatoreamento |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | conjugado |
$\tfrac00$ is a locked door — algebra is the key
- Direct substitution just gave you $\dfrac00$. Do not give up — rewrite the function first.
- The trick: find an equivalent 等价 expression that agrees with the original everywhere except the troublesome point.
- Since a limit ignores the single point $x=c$, the rewritten function has the same limit.
- Three tools do almost all the work: factor, rationalize, and combine fractions.
$\tfrac00$ é uma porta trancada — a álgebra é a chave
- A substituição direta lhe deu $\dfrac00$. Não desista — reescrita a função primeiro.
- O truque: encontre uma expressão equivalente 等价 que concorde com a original em todos os lugares exceto no ponto problemático.
- Como um limite ignora o único ponto $x=c$, a função reescrita tem o mesmo limite.
- Três ferramentas fazem quase todo o trabalho: fatore, racionalize e combine frações.
Algebraic manipulation replaces the function with an ____ one that agrees everywhere except the removed point. · A manipulação algébrica substitui a função por uma ____ que concorda em todos os pontos exceto no removido.
Same values off the hole means the same limit. · Mesmos valores fora do buraco significam o mesmo limite.
Tool 1 — factor and cancel
- A $\tfrac00$ in a rational function means $(x-c)$ divides both top and bottom.
- Use factoring 因式分解 on each, cancel the common $(x-c)$, then substitute.
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6$.
- The cancelled form is identical to the original for every $x\neq 3$ — exactly where the limit lives.
Ferramenta 1 — fatore e cancele
- Um $\tfrac00$ em uma função racional significa que $(x-c)$ divide tanto o topo quanto a base.
- Use fatoreamento 因式分解 em cada um, cancele o $(x-c)$ comum, depois substitua.
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6$.
- A forma cancelada é idêntica à original para todo $x\neq 3$ — exatamente onde o limite reside.
The curve is smooth except at the hole · A curva é suave exceto no buraco
y = x + 3 (from cancelling (x−3)) · y = x + 3 (de cancelar (x−3))
After you factor and cancel, the graph is an ordinary curve with a single missing point — the limit reads off that gap. · Após fatorizar e cancelar, o gráfico é uma curva comum com um único ponto ausente — o limite lê-se nesse vazio.
Evaluate · Avaliar $\displaystyle\lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}$. · Avalie $\displaystyle\lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}$.
Factor: $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4\to 8$. · Fatorizar: $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4\to 8$.
Tool 2 — rationalize the root
- When a square root causes the $\tfrac00$, multiply top and bottom by the conjugate 共轭.
- This clears the root and exposes a cancellable factor.
- $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac14$.
Ferramenta 2 — racionalize a raiz
- Quando uma raiz quadrada causa o $\tfrac00$, multiplique o topo e a base pelo conjugado 共轭.
- Isso elimina a raiz e expõe um fator cancelável.
- $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac14$.
The limit $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ is best handled by... · O limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ é melhor resolvido por...
A root causing $\tfrac00$ calls for the conjugate; here the limit is $\tfrac16$. · Uma raiz que causa $\tfrac00$ pede o conjugado; aqui o limite é $\tfrac16$.
Evaluate · Avaliar $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$. · Avalie $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$.
Rationalize to $\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}\to\frac{1}{4}$. · Racionalizar para $\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}\to\frac{1}{4}$.
Tool 3 — combine the fractions
- A difference of fractions like $\dfrac{1}{x+2}-\dfrac12$ over $x$ hides a factor once you use a common denominator.
- Combine into a single fraction, simplify, and the $(x-c)$ cancels.
- After any of these moves, finish with direct substitution — the door is now unlocked.
- Whichever tool you use, you are producing an equivalent function that lets substitution succeed.
Ferramenta 3 — combine as frações
- Uma diferença de frações como $\dfrac{1}{x+2}-\dfrac12$ sobre $x$ esconde um fator assim que você usa um denominador comum.
- Combine em uma única fração, simplifique, e o $(x-c)$ se cancela.
- Após qualquer uma dessas movimentos, termine com substituição direta — a porta agora está destravada.
- Qualquer ferramenta que você use, está produzindo uma função equivalente que permite que a substituição tenha sucesso.
Select all · todos algebraic tools that can resolve a $\tfrac00$ limit. · Selecione todas as ferramentas algébricas que podem resolver um limite $\tfrac00$.
The first three are legitimate rewrites; rounding is not a valid technique. · Os três primeiros são reescritas legítimas; arredondar não é uma técnica válida.
Cancelling $(x-c)$ changes the function at exactly one point: the rewritten expression is defined at $c$ while the original has a hole there. That is fine for the limit (which never looks at $x=c$), but do not claim the two functions are identical — they differ at the removed point.
Cancelar $(x-c)$ altera a função em exatamente um ponto: a expressão reescrita está definida em $c$ enquanto a original tem um buraco lá. Isso é aceitável para o limite (que nunca olha para $x=c$), mas não afirme que as duas funções são idênticas — elas diferem no ponto removido.
After cancelling $(x-3)$, the simplified function is exactly identical to the original at every point including $x=3$. · Após cancelar $(x-3)$, a função simplificada é exatamente idêntica à original em todos os pontos incluindo $x=3$.
They agree everywhere except $x=3$, where the original has a hole. The limit is unaffected, but the functions differ there. · Concordam em tudo exceto em $x=3$, onde a original tem um buraco. O limite não é afetado, mas as funções diferem ali.
Find $\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x^2+3x+2}$.
- Substitution gives $\tfrac00$ — factor both.
- $\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{x-1}{x+2}$ for $x\neq -1$.
- Substitute: $\dfrac{-1-1}{-1+2}=\dfrac{-2}{1}=-2$.
Encontre $\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x^2+3x+2}$.
- A substituição dá $\tfrac00$ — fatore ambos.
- $\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{x-1}{x+2}$ para $x\neq -1$.
- Substitua: $\dfrac{-1-1}{-1+2}=\dfrac{-2}{1}=-2$.
When substitution gives $\tfrac00$, rewrite the function into an equivalent form that agrees everywhere except at $c$: factor and cancel, rationalize with a conjugate, or combine fractions. Then substitute. The rewrite has the same limit because a limit ignores the single removed point.
Quando a substituição dá $\tfrac00$, reescreva a função em uma forma equivalente que concorde em todos os lugares exceto em $c$: fator e cancele, racionalize com um conjugado, ou combine frações. Depois substitua. A reescrita tem o mesmo limite porque um limite ignora o único ponto removido.