Circular motion and angular speed · Movimento circular e velocidade angular
| English | Português |
|---|---|
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radianos |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | comprimento de arco |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | velocidade angular |
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | frequência |
| tangential/tænˈdʒenʃl/ | tangencial |
| linear speed/ˈlɪnɪə spiːd/ | velocidade linear |
The merry-go-round
- Two horses on a merry-go-round both go round once together.
- Yet the outer horse clearly moves faster than the inner one.
- The link between "going round" and "speed" is what we set up here.
O carrossel
- Dois cavalos em um carrossel dão uma volta juntos.
- Yet o cavalo externo claramente se move mais rápido que o interno.
- A ligação entre "dar voltas" e "velocidade" é o que estabelecemos aqui.
Angles in radians 弧度
- A radian is the angle whose arc length 弧长 equals the radius: $\theta = \dfrac{s}{r}$.
- A full circle is $2\pi\ \text{rad}$. (Set your calculator to radians for this topic.)
A Ferris wheel: each car moves in a circle at a steady angular speed 角速度
Ângulos em radianos 弧度
- Um radiano é o ângulo cujo comprimento de arco 弧长 é igual ao raio: $\theta = \dfrac{s}{r}$.
- Uma circunferência completa é $2\pi\ \text{rad}$. (Configure sua calculadora para radianos neste tópico.)
Uma roda-gigante: cada carro se move em um círculo com velocidade angular constante 角速度
Angular speed · Velocidade angular
s = rθ
Angular speed turns angle · ângulo per time; arc length s = rθ. · Velocidade angular transforma ângulo por tempo; comprimento de arco s = rθ.
One radian is the angle for which the arc length equals the: · Um radiano é o ângulo para o qual o comprimento do arco é igual ao:
$\theta = \dfrac{s}{r}$, so when the arc $s$ equals the radius $r$, the angle is exactly one radian. · $\theta = \dfrac{s}{r}$, portanto, quando o arco $s$ é igual ao raio $r$, o ângulo é exatamente um radiano.
How many radians are there in a complete circle? · Quantos radianos existem em uma circunferência completa?
A full circle has arc $s = 2\pi r$, so $\theta = \dfrac{2\pi r}{r} = 2\pi \approx 6.28\ \text{rad}$. · Uma circunferência completa tem arco $s = 2\pi r$, logo $\theta = \dfrac{2\pi r}{r} = 2\pi \approx 6.28\ \text{rad}$.
Match each term to the definition the examiner marks. · Combine cada termo com a definição que o avaliador marca.
Defining the radian as 180/pi degrees, or by the formula theta = s/r, loses the mark. The arc equal in length to the radius is the marked phrase. · Definir o radiano como 180/pi graus ou pela fórmula theta = s/r resulta em perda de nota. A expressão 'arco com comprimento igual ao raio' é a resposta esperada.
Angular speed
- Angular speed $\omega$ is how fast the angle changes: $\omega = \dfrac{\theta}{t}$.
- Unit: $\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
One radian is the angle whose arc length equals the radius
Velocidade angular
- Velocidade angular $\omega$ é a rapidez com que o ângulo muda: $\omega = \dfrac{\theta}{t}$.
- Unidade: $\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
Um radiano é o ângulo cujo comprimento de arco é igual ao raio
Period 周期 and frequency 频率
- One turn takes the period $T$, so $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$.
- $f = \dfrac{1}{T}$ is the number of turns per second (Hz).
As the radius turns through the angle the object moves an arc at speed v
Período 周期 e frequência 频率
- Uma volta leva o período $T$, então $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$.
- $f = \dfrac{1}{T}$ é o número de voltas por segundo (Hz).
À medida que o raio gira através do ângulo, o objeto percorre um arco à velocidade v
An object goes once round every $2.0\ \text{s}$. What is its angular speed? · Um objeto dá uma volta completa a cada $2.0\ \text{s}$. Qual é sua velocidade angular?
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi \approx 3.14\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
Angular speed equals $2\pi$ divided by the ____. · A velocidade angular é igual a $2\pi$ dividido por ____.
$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ — the whole turn ($2\pi$) divided by the time for one turn. · $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ — a volta completa ($2\pi$) dividida pelo tempo de uma volta.
Linear and angular speed
- The actual (tangential 切向) speed is $v = r\omega$.
- Same $\omega$, bigger $r$ → bigger $v$ — which is why the outer horse is faster.
Velocidade linear e angular
- A velocidade real (tangencial 切向) é $v = r\omega$.
- Mesma $\omega$, maior $r$ → maior $v$ — que é por que o cavalo externo é mais rápido.
A point at radius $0.50\ \text{m}$ turns at $\omega = 4.0\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. What is its linear speed? · Um ponto a um raio $0.50\ \text{m}$ gira a $\omega = 4.0\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Qual é sua velocidade linear?
$v = r\omega = 0.50 \times 4.0 = 2.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
On a merry-go-round, a horse further from the centre moves at a higher linear speed. · Em um carrossel, um cavalo mais afastado do centro move-se com maior velocidade linear.
Same angular speed $\omega$, but $v = r\omega$, so a larger radius gives a larger linear speed. · Mesma velocidade angular $\omega$, mas $v = r\omega$, então um raio maior resulta em maior velocidade linear.
A wheel turns once every 4.0 s. What is its angular speed, in rad/s? · Uma roda gira uma vez a cada 4.0 s. Qual é sua velocidade angular, em rad/s?
omega = 2 pi / T = 1.57 rad/s. Every formula in this topic assumes radians, so a calculator in degrees quietly ruins v = r omega too. · omega = 2 pi / T = 1.57 rad/s. Todas as fórmulas neste tópico assumem radianos, portanto, uma calculadora em graus estraga silenciosamente v = r omega também.
Describing uniform circular motion
- The exam asks for it "in terms of velocity and acceleration". Say all three things:
- the speed is constant, but the velocity is not — it is along the tangent and its direction changes continuously;
- the acceleration has constant magnitude and is always directed towards the centre, perpendicular to the velocity.
Descrevendo movimento circular uniforme
- O exame pede para descrever "em termos de velocidade e aceleração". Diga as três coisas:
- a velocidade é constante, mas a velocidade vetorial não é — ela está ao longo da tangente e sua direção muda continuamente;
- a aceleração tem magnitude constante e está sempre direcionada para o centro, perpendicular à velocidade.
Which statements correctly describe an object in uniform circular motion? Select all that apply. · Quais afirmações descrevem corretamente um objeto em movimento circular uniforme? Selecione todas as que se aplicam.
The speed is constant but the velocity keeps changing direction, so there is an acceleration — of constant size, always towards the centre. · A velocidade é constante, mas a direção do vetor velocidade muda continuamente, existindo uma aceleração — de magnitude constante, sempre apontando para o centro.
In uniform circular motion, which are constant? Select all · todos that apply. · No movimento circular uniforme, quais grandezas são constantes? Selecione todas as que se aplicam.
The velocity changes continuously in direction, which is exactly why there is an acceleration at all. The force does no work, so the kinetic energy never changes. · O vetor velocidade muda continuamente de direção, sendo essa exatamente a razão pela qual existe aceleração. A força não realiza trabalho, então a energia cinética nunca muda.
Worked example: standing still, moving fast
Cambridge is at latitude $52.2^\circ$ on an Earth of radius $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ that turns once a day. Find the radius of the circle Cambridge moves round, its speed, and the resultant force on a $60\ \text{kg}$ student needed for this motion.
- Radius of the circle: the city circles the Earth's axis, not its centre, so $r = R\cos 52.2^\circ = 6.37 \times 10^{6} \times 0.613 = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- Angular speed: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{86\,400} = 7.27 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- Speed: $v = r\omega = 3.90 \times 10^{6} \times 7.27 \times 10^{-5} = 284\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Resultant force: $F = mr\omega^{2} = 60 \times 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 1.2\ \text{N}$, towards the axis.
- Check: a tiny force compared with the student's $590\ \text{N}$ weight — which is why we do not notice the spin, even though we are moving faster than a jet aircraft.
Exemplo resolvido: parado, movendo-se rápido
Cambridge está na latitude $52.2^\circ$ em uma Terra de raio $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ que gira uma vez por dia. Encontre o raio do círculo que Cambridge descreve, sua velocidade e a força resultante em um estudante de $60\ \text{kg}$ necessária para esse movimento.
- Raio do círculo: a cidade circunda o eixo da Terra, não seu centro, então $r = R\cos 52.2^\circ = 6.37 \times 10^{6} \times 0.613 = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- Velocidade angular: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{86\,400} = 7.27 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- Velocidade: $v = r\omega = 3.90 \times 10^{6} \times 7.27 \times 10^{-5} = 284\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Força resultante: $F = mr\omega^{2} = 60 \times 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 1.2\ \text{N}$, em direção ao eixo.
- Verificação: uma força minúscula comparada ao peso $590\ \text{N}$ do estudante — que é por que não notamos a rotação, mesmo nos movendo mais rápido que um avião jato.
$\omega$ must be in radians per second. Revolutions per minute become $\dfrac{\text{rpm} \times 2\pi}{60}$; a full turn is $2\pi$ in every formula here, never $360$. $r$ in $v = r\omega$ is in metres. And the period is the time for one complete revolution, not for a half-turn or a swing.
$\omega$ deve estar em radianos por segundo. Revoluções por minuto tornam-se $\dfrac{\text{rpm} \times 2\pi}{60}$; uma volta completa é $2\pi$ em todas as fórmulas aqui, nunca $360$. $r$ em $v = r\omega$ está em metros. E o período é o tempo para uma revolução completa, não para meia-volta ou oscilação.
A drill bit spins at $3000$ revolutions per minute. What is its angular speed, in rad/s? · Uma broca gira a $3000$ rotações por minuto. Qual é sua velocidade angular, em rad/s?
$3000$ turns per minute is $50$ per second; each turn is $2\pi$ rad, so $\omega = 50 \times 2\pi = 314\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. · $3000$ rotações por minuto equivalem a $50$ por segundo; cada volta corresponde a $2\pi$ rad, logo $\omega = 50 \times 2\pi = 314\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
Numbers to get a feel for
- A CD at $500$ revolutions per minute: $\omega = \dfrac{500 \times 2\pi}{60} = 52\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- A car wheel of radius $0.30\ \text{m}$ at $20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$: $\omega = \dfrac{v}{r} = 67\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, about $11$ turns a second.
- The Earth: one turn in $86\,400\ \text{s}$, so $\omega = 7.3 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ — slow in angle, fast at the rim.
Números para ter uma ideia
- Um CD a $500$ revoluções por minuto: $\omega = \dfrac{500 \times 2\pi}{60} = 52\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- Uma roda de carro de raio $0.30\ \text{m}$ a $20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$: $\omega = \dfrac{v}{r} = 67\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, cerca de $11$ voltas por segundo.
- A Terra: uma volta em $86\,400\ \text{s}$, então $\omega = 7.3 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ — lento em ângulo, rápido na borda.
You've got it
- a radian: $\theta = \dfrac{s}{r}$; a full circle is $2\pi\ \text{rad}$
- angular speed $\omega = \dfrac{\theta}{t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ (rad/s — convert rpm)
- linear speed 线速度 $v = r\omega$ (bigger radius → faster); uniform circular motion: constant speed, changing velocity, acceleration towards the centre
Entendeu?
- um radiano: $\theta = \dfrac{s}{r}$; um círculo completo é $2\pi\ \text{rad}$
- velocidade angular $\omega = \dfrac{\theta}{t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ (rad/s — converta rpm)
- velocidade linear 线速度 $v = r\omega$ (maior raio → mais rápido); movimento circular uniforme: velocidade constante, velocidade vetorial variável, aceleração para o centro