Continuous random variables (Further) · Variáveis aleatórias contínuas (Avançado)
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|---|---|
| continuous variable/kənˈtɪnjuːəs ˈveərɪəbl/ | variável contínua |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | função densidade de probabilidade |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | expectativa |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | função de distribuição acumulada |
| median/ˈmiːdiːən/ | mediana |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | percentil |
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | quartil |
Probability as area
- For a continuous variable 连续变量 — a height, a waiting time — no single exact value has a probability; there are infinitely many.
- Instead, probability is the area under a curve, the probability density function 概率密度函数 $f(x)$. The whole area is $1$.
Probabilidade como área
- Para uma variável contínua 连续变量 — uma altura, um tempo de espera — nenhum valor exato único tem probabilidade; existem infinitos.
- Em vez disso, a probabilidade é a área sob uma curva, a função de densidade de probabilidade 概率密度函数 $f(x)$. A área total é $1$.
The density function and expectation 期望
- $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, and the total area $\int f = 1$.
- The mean of any function of $X$:
Probabilities are areas under f(x); the total area over the whole range is exactly 1.
A função de densidade e a esperança 期望
- $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, e a área total $\int f = 1$.
- A média de qualquer função de $X$:
As probabilidades são áreas sob f(x); a área total sobre todo o intervalo é exatamente 1.
Continuous random variables · Variáveis aleatórias contínuas
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
For a continuous variable, probability · probabilidade is the area · área under the density curve. · Para uma variável contínua, a probabilidade é a área sob a curva de densidade.
What must the total area under a probability density function equal? · Qual deve ser a área total sob uma função de densidade de probabilidade?
A pdf integrates to 1 over its whole range. · Uma pdf integra-se a 1 sobre todo o seu intervalo.
The cumulative distribution function 累积分布函数
- The CDF accumulates probability from the left:
- It runs from $0$ to $1$, and differentiating recovers the density: $f(x) = F'(x)$.
The CDF $F(x)$ rises from 0 to 1; the median is read off where it reaches a height of 0.5
A função de distribuição acumulada 累积分布函数
- O CDF acumula probabilidade da esquerda para a direita:
- Ele varia de $0$ a $1$, e a derivada recupera a densidade: $f(x) = F'(x)$.
O CDF $F(x)$ sobe de 0 a 1; a mediana é lida onde atinge uma altura de 0.5
The cumulative distribution function F(x) gives: · A função de distribuição acumulada F(x) fornece:
F(x) = P(X ≤ x), the accumulated area up to x. · F(x) = P(X ≤ x), a área acumulada até x.
Differentiating the CDF gives the density: f(x) = F-(x). · Diferenciar a CDF dá a densidade: f(x) = F-(x).
f(x) = F′(x): the density is the derivative of the CDF. · f(x) = F′(x): a densidade é a derivada da CDF.
Worked example — the median 中位数
- The median $m$ splits the area in half: $F(m) = 0.5$.
- For $f(x) = \tfrac12 x$ on $[0, 2]$: $F(x) = \tfrac14 x^2$, so $\tfrac14 m^2 = 0.5$ gives $m = \sqrt2 \approx 1.41$.
Percentiles 百分位数 work the same way. The lower quartile 四分位数 solves $F(x) = 0.25$; the 90th percentile solves $F(x) = 0.9$. Always set $F$ equal to the fraction you want.
Exemplo resolvido — a mediana 中位数
- A mediana $m$ divide a área ao meio: $F(m) = 0.5$.
- Para $f(x) = \tfrac12 x$ em $[0, 2]$: $F(x) = \tfrac14 x^2$, então $\tfrac14 m^2 = 0.5$ resulta em $m = \sqrt2 \approx 1.41$.
Os percentis 百分位数 funcionam da mesma forma. O primeiro quartil 四分位数 resolve $F(x) = 0.25$; o 90º percentil resolve $F(x) = 0.9$. Sempre defina $F$ igual à fração desejada.
For f(x) = ½x on [0,2], F(x) = ¼x². The median solves ¼m² = 0.5. What is m? (2 dp) · Para f(x) = ½x em [0,2], F(x) = ¼x². A mediana resolve ¼m² = 0.5. Qual é m? (2 casas decimais)
¼m² = 0.5 → m² = 2 → m = √2 ≈ 1.41.
The median m of a continuous distribution satisfies: · A mediana m de uma distribuição contínua satisfaz:
The median splits the area in half: F(m) = 0.5. · A mediana divide a área ao meio: F(m) = 0.5.
Density is not probability
$f(x)$ can exceed 1. A density isn't a probability — only the area is. A tall narrow peak can have $f(x) > 1$ as long as the total area stays $1$.
- Use cumulative distribution functions (CDFs) to find probabilities and percentiles, and the CDF of a related variable.
Densidade não é probabilidade
$f(x)$ pode exceder 1. Uma densidade não é uma probabilidade — apenas a área é. Um pico alto e estreito pode ter $f(x) > 1$ desde que a área total permaneça $1$.
- Use funções de distribuição acumulada (CDFs) para encontrar probabilidades e percentis, e o CDF de uma variável relacionada.
A probability density f(x) can be greater than 1. · Uma densidade de probabilidade f(x) pode ser maior que 1.
Only the area must be ≤ 1; the density itself can exceed 1 over a narrow interval. · Apenas a área deve ser ≤ 1; a própria densidade pode exceder 1 sobre um intervalo estreito.
You've got it
- probability = area under $f(x)$; total area $= 1$ (density itself can exceed 1)
- the CDF $F(x) = P(X \leq x) = \int f$, and $f = F'$
- the median solves $F(m) = 0.5$; percentiles solve $F(x) =$ that fraction
Entendeu?
- probabilidade = área sob $f(x)$; área total $= 1$ (a própria densidade pode exceder 1)
- o CDF $F(x) = P(X \leq x) = \int f$, e $f = F'$
- a mediana resolve $F(m) = 0.5$; os percentis resolvem $F(x) =$ essa fração