Linear motion under a variable force · Movimento linear sob força variável
| English | Português |
|---|---|
| drag/dræɡ/ | arrastar |
| position/pəˈzɪʃn/ | posição |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | regra da cadeia |
| separable/ˈsepərəbl/ | separável |
| separate/ˈseprət/ | separar |
| integrate/ˈɪntɪɡreɪt/ | integra |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | condição de contorno |
When the force keeps changing
- Gravity near Earth is roughly constant — but the pull of a planet, the drag 阻力 on a car, or a magnetic force all change with position 位置.
- A force that depends on where you are needs a cleverer form of Newton's law.
Quando a força continua mudando
- A gravidade perto da Terra é aproximadamente constante — mas a atração de um planeta, o arrasto 阻力 em um carro ou uma força magnética mudam com a posição 位置.
- Uma força que depende de onde você está precisa de uma forma mais engenhosa da lei de Newton.
Acceleration as a function of position
- When the force (and so the acceleration) depends on position $x$, rewrite acceleration as:
- This comes from the chain rule 链式法则: $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$.
When force varies with position, the work done is the area under the F–x graph
Aceleração como função da posição
- Quando a força (e portanto a aceleração) dependem da posição $x$, reescreva a aceleração como:
- Isso vem da regra da cadeia 链式法则: $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$.
Quando a força varia com a posição, o trabalho realizado é a área sob o gráfico F-x
Work from a variable force · Trabalho de uma força variável
W = ∫ F dx
When the force changes, the work done is the area · área under the force–distance graph. · Quando a força varia, o trabalho realizado é a área sob o gráfico força-distância.
When a force depends on position x, acceleration is best written as: · Quando uma força depende da posição x, a aceleração deve ser escrita como:
a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx — convenient when force depends on x. · a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx — conveniente quando a força depende de x.
The identity a = v dv/dx comes from the ______ rule. · A identidade a = v dv/dx vem da regra do ______.
dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx by the chain rule. · dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx pela regra da cadeia.
Turning F = ma into a differential equation
- Substituting gives $F(x) = mv\dfrac{dv}{dx}$ — a separable 可分离 differential equation linking $v$ and $x$.
- Separate 分离 the variables ($v\,dv$ on one side, $x$ on the other) and integrate 积分.
When to use which form. Force depends on time → use $a = \dfrac{dv}{dt}$. Force depends on position → use $a = v\dfrac{dv}{dx}$. Choosing the right one is half the battle.
Transformando F = ma em uma equação diferencial
- Substituindo obtemos $F(x) = mv\dfrac{dv}{dx}$ — uma equação diferencial separável 可分离 ligando $v$ e $x$.
- Separe 分离 as variáveis ($v\,dv$ de um lado, $x$ do outro) e integre 积分.
Quando usar qual forma. Força depende de tempo → use $a = \dfrac{dv}{dt}$. Força depende de posição → use $a = v\dfrac{dv}{dx}$. Escolher a certa é metade da batalha.
Substituting a = v dv/dx into F = ma gives a separable differential equation in v and x. · Substituindo a = v dv/dx em F = ma, obtém-se uma equação diferencial separável em v e x.
F(x) = mv dv/dx separates into v dv and an x-expression, then integrate. · F(x) = mv dv/dx separa-se em v dv e uma expressão em x, então integra-se.
If instead the force depends on time t, the natural form for acceleration is: · Se, em vez disso, a força depende do tempo t, a forma natural para a aceleração é:
Time-dependent force → a = dv/dt; position-dependent → a = v dv/dx. · Força dependente do tempo → a = dv/dt; dependente de posição → a = v dv/dx.
The method
-
- Write $F = ma$ with $a = v\dfrac{dv}{dx}$.
-
- Separate: gather $v$ terms with $dv$, $x$ terms with $dx$.
-
- Integrate both sides, then apply the boundary conditions 边界条件 to find $v$ as a function of $x$.
- When the force depends on position, treat it as a variable force with $a=v\,dv/dx$.
O método
-
- Escreva $F = ma$ com $a = v\dfrac{dv}{dx}$.
-
- Separe: agrupe termos $v$ com $dv$, termos $x$ com $dx$.
-
- Integre ambos os lados, depois aplique as condições de contorno 边界条件 para encontrar $v$ como função de $x$.
- Quando a força depende da posição, trate-a como uma força variável com $a=v\,dv/dx$.
Put the steps for solving motion under a position-dependent force in order. · Organize os passos para resolver o movimento sob uma força dependente da posição.
Set up with v dv/dx, separate, integrate, then use the conditions to fix the constant. · Configure com v dv/dx, separe, integre, depois use as condições para determinar a constante.
You've got it
- for a position-dependent force, use $a = v\dfrac{dv}{dx}$ (from the chain rule)
- this makes $F = ma$ a separable differential equation in $v$ and $x$
- separate and integrate to find $v$ as a function of $x$
Entendeu?
- para uma força dependente da posição, use $a = v\dfrac{dv}{dx}$ (da regra da cadeia)
- isso torna $F = ma$ uma equação diferencial separável em $v$ e $x$
- separe e integre para encontrar $v$ como função de $x$