Motion of a projectile · Movimento de um projétil
| English | Português |
|---|---|
| horizontal/ˌhɒrɪˈzɒntl/ | horizontal |
| vertical/ˈvɜːtɪkl/ | vertical |
| gravity/ˈɡrævɪti/ | gravidade |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | projétil |
| parabola/pəˈræbələ/ | parábola |
| range/reɪndʒ/ | range |
| greatest height/ˈɡreɪtɪst haɪt/ | altura máxima |
The cannonball problem
- Fire a ball at an angle and it traces a smooth arch, then lands. Where, and how high?
- Galileo's insight: treat the horizontal 水平 and vertical 竖直 motions completely separately — they only share the clock.
O problema da bala de canhão
- Atire uma bola em um ângulo e ela traça um arco suave, depois cai. Onde e quão alto?
- A intuição de Galileu: trate os movimentos horizontal 水平 e vertical 竖直 completamente separadamente — eles compartilham apenas o relógio.
Two independent motions
- Launched at speed $u$ and angle $\alpha$:
- Horizontal: constant velocity $u\cos\alpha$ (no force sideways).
- Vertical: gravity 重力 only, acceleration $g$ downward.
Water jets follow parabolic paths, the classic projectile 抛射体 motion under gravity
Dois movimentos independentes
- Lançada com velocidade $u$ e ângulo $\alpha$:
- Horizontal: velocidade constante $u\cos\alpha$ (sem força lateral).
- Vertical: apenas gravidade 重力, aceleração $g$ para baixo.
Jatos de água seguem trajetórias parabólicas, o movimento clássico de projétil 抛射体 sob gravidade
Launch a projectile · Lance um projétil
Fire the ball, then change the angle and speed. The horizontal motion is steady while gravity pulls it down — together they trace a parabola. Find the angle for the longest range, and try the Moon. · Dispare a bola, depois altere o ângulo e a velocidade. O movimento horizontal é constante enquanto a gravidade a puxa para baixo — juntos traçam uma parábola. Encontre o ângulo para o maior alcance, e tente a Lua.
During the flight, the horizontal velocity of a projectile (ignoring air resistance): · Durante o voo, a velocidade horizontal de um projétil (ignorando resistência do ar):
There is no horizontal force, so u cos α is constant throughout. · Não há força horizontal, logo u cos α é constante durante todo o trajeto.
The initial horizontal velocity of a projectile launched at speed u and angle α is u ______ α. · A velocidade horizontal inicial de um projétil lançado a velocidade u e ângulo α é u ______ α.
Horizontal component = u cos α; vertical = u sin α. · Componente horizontal = u cos α; vertical = u sin α.
The parabola 抛物线
- Eliminating $t$ leaves $y$ as a quadratic in $x$ — so the path is a parabola.
Horizontal speed stays constant; gravity bends the vertical motion into a parabola.
A parábola 抛物线
- Eliminar $t$ deixa $y$ como uma quadrática em $x$ — então o caminho é uma parábola.
A velocidade horizontal permanece constante; a gravidade curva o movimento vertical em uma parábola.
The path of a projectile (no air resistance) is a: · A trajetória de um projétil (sem resistência do ar) é uma:
Eliminating t gives y as a quadratic in x — a parabola. · Eliminar t dá y como uma quadrática em x — uma parábola.
Range 射程 and greatest height 最大高度
- At the top, the vertical velocity is momentarily zero. The key results:
Worked example. $u = 20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, $\alpha = 30^\circ$, $g = 10$. Greatest height $= \dfrac{400 \times 0.25}{20} = 5\ \text{m}$.
Alcance 射程 e maior altura 最大高度
- No topo, a velocidade vertical é momentaneamente zero. Os resultados chave:
Exemplo resolvido. $u = 20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, $\alpha = 30^\circ$, $g = 10$. Maior altura $= \dfrac{400 \times 0.25}{20} = 5\ \text{m}$.
A ball is thrown at u = 20 m/s at 30°. Using height = u²sin²α/(2g) with g = 10, find the greatest height (m). · Uma bola é lançada a u = 20 m/s a 30°. Usando altura = u²sin²α/(2g) com g = 10, encontre a altura máxima (m).
400 × sin²30° / 20 = 400 × 0.25 / 20 = 5 m.
At what launch angle (degrees) is the range greatest? · A que ângulo de lançamento (graus) o alcance é máximo?
Range ∝ sin 2α, which is largest when 2α = 90°, i.e. α = 45°. · Alcance ∝ sin 2α, que é máximo quando 2α = 90°, ou seja, α = 45°.
At the highest point of the flight, the vertical component of velocity is zero. · No ponto mais alto do voo, a componente vertical da velocidade é zero.
Vertical velocity decreases to zero at the top, then becomes negative (downward). · A velocidade vertical diminui até zero no topo, depois torna-se negativa (para baixo).
Common trap
Range is maximised at $45^\circ$, not $90^\circ$. $\sin 2\alpha$ peaks when $2\alpha = 90^\circ$. Firing straight up gives zero range — all the speed goes into height.
- Eliminating time gives the Cartesian equation of the path; all trajectories lie under a bounding parabola.
Armadilha comum
O alcance é maximizado em $45^\circ$, não $90^\circ$. $\sin 2\alpha$ atinge pico quando $2\alpha = 90^\circ$. Atirar reto para cima dá alcance zero — toda a velocidade vai para a altura.
- Eliminar o tempo dá a equação cartesiana do caminho; todas as trajetórias ficam sob uma parábola limitante.
You've got it
- resolve into horizontal ($u\cos\alpha$, constant) and vertical ($u\sin\alpha$, gravity) parts
- the path is a parabola
- range $= \dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ (max at $45^\circ$); greatest height $= \dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$
Entendeu?
- decomponha em horizontal ($u\cos\alpha$, constante) e vertical ($u\sin\alpha$, gravidade) partes
- o caminho é uma parábola
- alcance $= \dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ (máx em $45^\circ$); maior altura $= \dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$