Gerak Harmonik Sederhana
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/ | gerak harmonik sederhana |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | pindahan |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | kesetimbangan |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | amplitudo |
| period/ˈpɪərɪəd/ | tempoh |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | frekuensi |
| angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/ | frekuensi sudut |
Lampu yang mengajarkan dunia untuk menjaga waktu
- Pada tahun 1583, seorang mahasiswa di katedral Pisa, bosan saat khotbah, mengukur ayunan sebuah lampu dengan detak jantungnya. Baik ayunannya lebar maupun sempit, setiap ayunan membutuhkan waktu yang sama.
- Hal itu tidak jelas dan tidak berlaku untuk sebagian besar gerakan. Hal ini benar ketika gaya pemulih meningkat sebanding dengan seberapa jauh benda tersebut telah bergeser, dan satu syarat ini mendefinisikan seluruh topik.
- Pengamatan Galileo menjadi jam pendulum, dan setiap jam selama 300 tahun berikutnya.
- Pelajaran ini adalah gerak harmonik sederhana: persamaan definisinya, kata-kata yang mendeskripsikannya, dan cara membaca $\omega$ dari grafik.
Definisi
- Sebuah benda bergerak dengan gerak harmonik sederhana ketika percepatannya sebanding dengan simpangannya dari titik tetap, dan selalu diarahkan menuju titik tersebut.
- Kedua bagian diperlukan untuk kedua poin skor. "Sebanding dengan simpangan" saja juga dapat menggambarkan gaya yang mendorongnya semakin menjauh.
- Dalam simbol, dengan tanda minus membawa makna "menuju posisi kesetimbangan":
Bergeser ke kanan, dipercepat ke kiri; bergeser ke kiri, dipercepat ke kanan
Dalam gerak harmonik sederhana, percepatan:
Itu persis $a = -\omega^{2}x$ — simpangan lebih besar, tarikan balik lebih besar; selalu menuju tengah.
Definisi lengkap gerak harmonik sederhana memerlukan pernyataan manakah? Pilih semua yang berlaku.
Dua pernyataan itu adalah definisinya dan membawa kedua poin. Periode konstan adalah konsekuensi darinya, dan kecepatan tentu saja tidak konstan.
Kosakata
- Simpangan $x$: jarak dari posisi kesetimbangan, dengan arah. Amplitudo $x_0$: simpangan maksimum.
- Periode $T$: waktu untuk satu osilasi lengkap. Frekuensi $f = 1/T$: osilasi per detik, dalam hertz.
- Frekuensi sudut $\omega$: menghubungkan keduanya, $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$. Diberikan salah satu dari $\omega$, $f$ dan $T$ Anda dapat menemukan yang lain, dan sebagian besar soal dimulai dengan melakukan hal persis itu.
Ayunkan pendulum
Biarkan berayun, lalu ubah sudut awal — waktu untuk satu ayunan tetap sama (itulah yang menjadikannya jam yang baik). Sekarang buat tali lebih panjang, atau pindah ke Bulan, dan perhatikan perubahan periodenya.
Sebuah osilasi memiliki periode $2.0\ \text{s}$. Berapakah frekuensi sudutnya $\omega$?
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi \approx 3.14\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
Simpangan terhadap waktu
- Memulai dari posisi kesetimbangan pada $t = 0$: $x = x_0 \sin(\omega t)$. Memulai dari ekstrem: $x = x_0 \cos(\omega t)$.
- Yang Anda gunakan hanya bergantung pada di mana gerakan dimulai. Baca kondisi awal pertanyaan sebelum memilih.
- Grafiknya adalah kurva sinus dengan amplitudo $x_0$ dan periode $T$, dan gerakan tersebut berulang persis.
Satu periode, satu siklus penuh, lalu sama lagi
Kecepatan di mana pun dalam gerakan
- Kecepatan pada simpangan $x$, tanpa perlu waktu:
- Di tengah, $x = 0$, ini memberikan kecepatan maksimum $v_{\text{max}} = \omega x_0$. Di ekstrem, $x = \pm x_0$, ini memberikan nol.
- Itu adalah pola yang harus diingat: tercepat di tengah, sesaat diam di setiap ujung, dan percepatan berada di arah sebaliknya, nol di tengah dan terbesar di ujung-ujung.
Dalam GHS, kecepatan terbesar berada di posisi ____.
Di tengah, seluruh energi adalah kinetik, sehingga kecepatan maksimum ($v = \omega x_0$).
Di ujung-ujung gerakan ($x = \pm x_0$), kecepatannya nol.
Osilator berhenti sejenak di setiap ujung sebelum berbalik — kecepatan nol, percepatan maksimum.
Sebuah osilator memiliki amplitudo $0.10\ \text{m}$ dan $\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Berapakah kecepatannya maksimum?
Kecepatan maksimum $= \omega x_0 = 10 \times 0.10 = 1.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Pasangkan setiap besaran dengan di mana dalam osilasi besaran tersebut paling besar.
Kecepatan dan percepatan mencapai puncak di tempat yang berbeda, dan keduanya tidak pernah maksimum secara bersamaan.
Contoh terpecahkan: dari periode ke kecepatan maksimum
- Sebuah massa berosilasi dengan periode $2.0\ \text{s}$ dan amplitudo $0.10\ \text{m}$. Temukan kecepatan maksimum dan percepatan maksimumnya.
- Pertama $\omega$: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = 3.14\ \text{rad/s}$. Hampir setiap soal SHM dimulai dari sini.
- Kecepatan maksimum, di tengah: $v_{\text{max}} = \omega x_0 = 3.14 \times 0.10 = 0.31\ \text{m/s}$.
- Percepatan maksimum, di ekstrem: $a_{\text{max}} = \omega^2 x_0 = 3.14^2 \times 0.10 = 0.99\ \text{m/s}^2$.
- Perhatikan di mana masing-masing maksimum terjadi. Soal yang bertanya "pada simpangan berapa" menginginkan tengah untuk kecepatan dan ekstrem untuk percepatan.
Sebuah osilasi memiliki periode 2.0 s dan amplitudo 0.10 m. Berapakah kecepatannya maksimum dalam m/s?
omega = 2 pi / T = 3.14 rad/s, dan v_max = omega x0 = 0.31 m/s, yang terjadi di tengah. Percepatan maksimum, di ujung, adalah omega kuadrat kali x0 = 0.99 m/s^2.
Membaca grafik percepatan-simpangan
- Karena $a = -\omega^2 x$, grafik percepatan terhadap simpangan adalah garis lurus melalui titik asal dengan gradien negatif.
- Gradiennya adalah $-\omega^2$, sehingga $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$ dan kemudian $T = 2\pi/\omega$.
- Ini adalah cara standar ujian memberikan Anda $\omega$ tanpa menyatakannya. Garis lurus melalui titik asal dengan gradien negatif juga merupakan cara standar untuk meminta Anda menunjukkan bahwa gerakan adalah harmonik sederhana.
Lurus, melalui titik asal, negatif: ketiganya penting
Pada grafik percepatan terhadap simpangan untuk GHS, gradiennya sama dengan:
$a = -\omega^{2}x$ adalah garis lurus dengan gradien $-\omega^{2}$, jadi $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$.
Contoh terpecahkan: apakah itu harmonik sederhana?
- Pengukuran percepatan gerobak pada berbagai simpangan menghasilkan garis lurus melalui titik asal dengan gradien $-25\ \text{/s}^2$. Tunjukkan bahwa gerakan tersebut harmonik sederhana dan temukan periodenya.
- Grafiknya adalah garis lurus, sehingga $a \propto x$; melewati titik asal, sehingga tidak ada suku konstan; dan gradiennya negatif, sehingga percepatan diarahkan menuju posisi kesetimbangan. Tiga fakta ini adalah definisi, sehingga gerakan tersebut harmonik sederhana.
- Gradiennya adalah $-\omega^2 = -25$, sehingga $\omega = 5.0\ \text{rad/s}$ dan $T = \dfrac{2\pi}{5.0} = 1.3\ \text{s}$.
Grafik percepatan-simpangan untuk osilator adalah garis lurus melalui titik asal dengan gradien -25 per detik kuadrat. Berapakah periodenya, dalam detik?
Gradiennya adalah minus omega kuadrat, jadi omega = 5.0 rad/s dan T = 2 pi / 5.0 = 1.3 s. Garis lurus, melalui titik asal, dan negatif juga merupakan bukti bahwa gerakan tersebut harmonik sederhana.
⟦⟧ Nilai yang sering terlewat
- Definisi memerlukan kedua bagian: sebanding dengan simpangan dan diarahkan menuju titik tetap. Tanda minuslah yang membawa bagian kedua.
- $\omega$ berada dalam rad s$^{-1}$, bukan hertz. Konversikan dengan $\omega = 2\pi f$ sebelum mensubstitusikan.
- Kecepatan terbesar di tengah; percepatan terbesar di ekstrem. Mereka tidak pernah keduanya maksimum sekaligus.
- Pilih sinus atau kosinus dari di mana gerakan bermula, bukan karena kebiasaan.
Anda telah memahaminya
- SHM: percepatan sebanding dengan simpangan dan diarahkan menuju titik tetap, sehingga $a = -\omega^2 x$
- $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$, dan hampir setiap soal dimulai dengan menemukan $\omega$
- $x = x_0\sin\omega t$ dari tengah atau $x_0\cos\omega t$ dari ekstrem; $v = \pm\omega\sqrt{x_0^2 - x^2}$, sehingga $v_{\text{max}} = \omega x_0$ di tengah dan $a_{\text{max}} = \omega^2 x_0$ di ujung
- sebuah graf percepatan-perpindahan yang lurus, melalui titik asal dan negatif membuktikan GSB, dan gradiennya adalah $-\omega^2$