Medan gravitasi massa titik
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| orbit/ˈɔːbɪt/ | orbit |
| orbital speed/ˈɔːbɪtl spiːd/ | kecepatan orbit |
| satellite/ˈsætəlaɪt/ | satelit |
| Kepler's third law/ˈkepləz θɜːd lɔː/ | Hukum ketiga Kepler |
| geostationary/ˌdʒiːəʊˈsteɪʃənəri/ | geostasioner |
| equator/ɪˈkweɪtə/ | ekuator |
| free fall/friː fɔːl/ | jatuh bebas |
Mengapa Bulan tidak jatuh
- Bulan selalu jatuh menuju Bumi — tetapi ia juga bergerak menyamping dengan cepat.
- Jadi ia terus melewatinya: ia berada dalam orbit.
- Gravitasi menyediakan tepat gaya sentripetal yang dibutuhkan.
Medan titik massa
- Pada jarak $r$ dari massa $M$: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ — menurun sesuai $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- Di dekat permukaan Bumi $r \approx R$ sangat besar, sehingga memanjat gedung hampir tidak mengubah $g$.
Kekuatan medan menurun sebanding dengan 1/r²: menggandakan jarak mengurangi tarikan menjadi seperempat
Jarak garis medan menunjukkan kekuatan medan — garis yang lebih rapat berarti medan yang lebih kuat
Medan massa titik
g ∝ M/r²
Kekuatan medan gravitasi mematuhi hukum kuadrat terbalik — kurangi jarak setengahnya dan kekuatannya menjadi empat kali lipatnya.
Kuat medan gravitasi pada jarak $r$ dari massa titik $M$ adalah:
Dari $g = \dfrac{F}{m}$ dengan $F = \dfrac{GMm}{r^{2}}$, massa uji saling meniadakan: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$.
Mendaki gedung tinggi mengubah nilai g secara besar.
Jari-jari Bumi ~6400 km, sehingga kenaikan beberapa meter hampir tidak mengubah $r$ — $g$ efektif konstan.
Kecepatan orbit
- Gravitasi = gaya sentripetal: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$.
- Massa $m$ saling menghilangkan: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ — independen dari massa satelit.
Kecepatan orbit satelit tidak bergantung pada massanya sendiri.
Massa $m$ saling meniadakan dalam $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$, menyisakan $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$.
Hukum ketiga Kepler
- Dari $T = \dfrac{2\pi r}{v}$: $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, sehingga $T^{2} \propto r^{3}$.
- Grafik $T^{2}$ terhadap $r^{3}$ adalah garis lurus — kemiringannya memberikan massa pusat.
Memplot T² terhadap r³ menghasilkan garis lurus melalui titik asal — kemiringannya menentukan massa pusat M
Hukum Kepler ketiga (untuk orbit melingkar) menyatakan:
$T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, sehingga kuadrat periode berbanding lurus dengan pangkat tiga jari-jari.
Jika jari-jari orbit bertambah sebesar faktor 4, periode bertambah sebesar faktor:
$T \propto r^{3/2}$, sehingga $T$ berubah sesuai $4^{3/2} = 8$.
Contoh terpecahkan: satelit di atas Mars
Satelit mengorbit Mars (massa $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, jari-jari $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$) pada ketinggian $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$ di atas permukaan. Temukan kecepatannya dan periodenya.
- Jari-jari orbit, dari pusat: $r = 3.4 \times 10^{6} + 1.7 \times 10^{6} = 5.1 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- Kecepatan: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{5.1 \times 10^{6}}} = 2.9 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Periode: $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi \times 5.1 \times 10^{6}}{2.9 \times 10^{3}} = 1.1 \times 10^{4}\ \text{s}$, sekitar tiga jam.
- Cek: massa satelit itu sendiri tidak pernah muncul — setiap satelit pada ketinggian ini bergerak dengan kecepatan ini. Menggunakan tinggi saja untuk $r$ menghasilkan kecepatan yang jauh terlalu tinggi.
Sebuah satelit mengorbit Bumi (massa $6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$) pada jari-jari $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ dari pusat. Berapakah kecepatan orbitnya, dalam km/s?
$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{8.0 \times 10^{6}}} = 7.1 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 7.1\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$.
Orbit geostasioner
- Periode 24 jam, tepat di atas khatulistiwa, mengorbit barat ke timur — arah yang sama dengan rotasi Bumi.
- Satelit tetap diam di atas satu titik — sempurna untuk antena TV. Dari $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}$ dengan $T = 86\,400\ \text{s}$, jari-jarinya $\approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$, sekitar $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ di atas permukaan.
Pilih semua ciri satelit geostasioner.
Satelit ini menyesuaikan rotasi Bumi (24 jam, barat ke timur) di atas ekuator, sehingga tetap diam di atas satu titik. Orbit polar tidak demikian.
Orbit sinkron di tempat lain
- Setiap planet memiliki orbit sinkronnya sendiri: periodenya sama dengan periode rotasi planet tersebut, dan orbit berada di atas khatulistiwa, bergerak searah rotasi.
- Mars berputar sekali dalam waktu sekitar $25$ jam, sehingga satelit dengan periode $25$ jam di atas khatulivisianya akan tetap di atas satu titik di Mars.
- Ubah periodenya dan jari-jarinya mengikuti hukum Kepler: periode lebih panjang berarti orbit yang lebih besar.
Dalam setiap rumus orbit $r$ diukur dari pusat planet — tambahkan jari-jari planet ke ketinggian. Massa satelit dibatalkan, jadi "satelit yang lebih berat harus bergerak lebih cepat" adalah salah. Orbit geostasioner harus berada di atas khatulistiwa: orbit lain akan memotong khatulistiwa dua kali sehari dan bergeser ke utara dan selatan jika dilihat dari tanah.
Sebuah satelit berada $600\ \text{km}$ di atas permukaan planet berjari-jari $6400\ \text{km}$. Dalam persamaan orbit, $r$ = ____ km.
$r$ diukur dari pusat: $6400 + 600 = 7000\ \text{km}$.
Tidak tanpa berat — jatuh bebas
- Pada ketinggian Stasiun Luar Angkasa $400\ \text{km}$, $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — hampir sama dengan nilai di permukaan.
- Astronot melayang karena mereka dan stasiun berada dalam jatuh bebas bersama-sama, bukan karena gravitasi telah hilang.
Jari-jari Bumi adalah $6370\ \text{km}$ dan kuat medan permukaannya adalah $9.81\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$. Berapakah kuat medan pada ketinggian $400\ \text{km}$, dalam N/kg?
$g \propto \dfrac{1}{r^{2}}$, sehingga $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — para astronaut tidak tanpa berat, mereka sedang jatuh.
Anda telah memahaminya
- medan dari massa titik: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ (sehingga $g$ hampir konstan di dekat permukaan)
- orbit: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ dengan $r$ dari pusat (independen dari massa satelit); $T^{2} \propto r^{3}$
- geostasioner: 24 jam, di atas khatulistiwa, barat ke timur; orbit sinkron cocok dengan rotasi planet apa pun