Integrasi
Diperkenalkan| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | integrasi |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | konstanta integrasi |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | integral tentu |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | volume benda putar |
Luas di bawah kurva
- Berapa banyak bahan bakar yang dibakar roket jika tenaganya bervariasi seiring waktu? Berapa luas tanah yang ditutupi oleh ladang berbentuk lengkung?
- Integrasi menjawab pertanyaan-pertanyaan ini — ia menemukan total kuantitas yang terkumpul dari suatu laju perubahan.
Integral tak tentu
- Integral membalikkan diferensiasi:
- Konstanta $+\,C$ adalah konstanta integrasi — cari dari titik yang diketahui.
Contoh terpecahkan. $\int 3x^2\,dx = x^3 + C$. Jika kurva melalui $(1, 5)$: $1^3 + C = 5$, sehingga $C = 4$ dan $y = x^3 + 4$.
Integral tertentu mengukur area arsiran antara kurva dan sumbu-x
Luas di bawah kurva
luas = ∫ f(x) dx
Seret had-had a dan b — kawasan yang diarsir antara lengkung dan paksi-x ialah integrasi tentu.
Mengapakah integrasi tidak tentu termasuk "+ C"?
Membahagikan pemalar menghasilkan 0, jadi asal mungkin mempunyai sebarang pemalar — sebab itu + C.
Jika dy/dx = 4x dan lengkung melalui (1, 7), berapakah C dalam y = 2x² + C?
y = 2x² + C. Pada (1, 7): 7 = 2(1)² + C → C = 5.
Integral tertentu
- Integral tertentu menghasilkan sebuah angka: $\displaystyle\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$.
- Area di bawah kurva dari $p$ hingga $q$ adalah $\displaystyle\int_p^q y\,dx$ (untuk dua kurva, integralkan atas dikurangi bawah).
Integral tertentu $\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9 - 0 = 9$. Area arsiran adalah $9$ satuan persegi.
Area di bawah sumbu-x bernilai negatif. Jika kurva turun ke bawah sumbu, integral memberikan nilai negatif. Untuk mencari total area, pecah pada akar-akarnya dan ambil nilai mutlak dari masing-masing bagian.
Nilai integrasi tentu bagi 2x dari 0 hingga 3 (₀³ 2x dx).
∫2x dx = x², jadi [x²]₀³ = 9 − 0 = 9.
Nilai ∫₀² 3x² dx.
∫3x² dx = x³, jadi [x³]₀² = 8 − 0 = 8.
Jika lengkung berada di bawah paksi-x, integrasi tentu memberikan nilai negatif.
Kawasan di bawah paksi-x menyumbang secara negatif kepada integrasi. Ambil nilai mutlak untuk mencari kawasan sebenar.
Volume perputaran
- Volume perputaran terhadap sumbu-$x$: $V = \pi\displaystyle\int_p^q y^2\,dx$.
- Bayangkan sebagai tumpukan cakram sangat tipis dengan jari-jari $y$ dan ketebalan $dx$.
Memutar daerah di bawah kurva mengelilingi sumbu-x membentuk benda padu, dihitung sebagai cakram tipis
Isipadu putaran bagi y = x mengenai paksi-x dari 0 hingga 2 ialah π∫₀² x² dx. Cari nilainya (tanpa π).
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 ≈ 2,67.
Contoh kerja
- Temukan area di bawah $y = x^2$ dari $x = 0$ hingga $x = 3$:
- $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} - 0 = 9$.
- Integral tidak wajar memiliki batas tak hingga atau integran yang tak terbatas.
Anda telah memahaminya
- integrasi membalikkan diferensiasi; ingat konstanta $+\,C$
- integral tertentu $\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$ = area di bawah kurva
- volume perputaran terhadap sumbu-$x$ $= \pi\int y^2\,dx$
- area di bawah sumbu adalah negatif — pecah dan ambil nilai mutlak untuk total area