פונקציות טריגונומטריות וקוטביות

מטרת הלמידה 3.1.A: בניית גרפים של קשרים מחזוריים על בסיס ייצוגים מילוליים.

• 3.1.A.1 ניתן לזהות קשר מחזורי בין שני היבטים של הקשר אם, כאשר ערכי הקלט עולים, ערכי הפלט מראים דפוס חוזר בתוך פרקי אורך שווה רצופים.
• 3.1.A.2 ניתן לבנות את הגרף של קשר מחזורי מתוך הגרף של מחזור אחד בלבד של הקשר.

מטרת הלמידה 3.1.B: תיאור מאפיינים מרכזיים של פונקציה מחזורית על בסיס ייצוג מילולי.

• 3.1.B.1 התקופה של הפונקציה היא הערך החיובי הקטן ביותר $k$ כך ש$f(x + k) = f(x)$ לכל $x$ בתחום ההגדרה. מכאן, התנהגותה של פונקציה מחזורית נקבעת במלואה על ידי כל פרק בעל רוחב $k$.
• 3.1.B.2 ניתן להעריך את התקופה על ידי בדיקת ערכי פלט רצופים בעלי אורך שווה וזיהוי הנקודה בה הדפוס מתחיל לחזור על עצמו.
• 3.1.B.3 פונקציות מחזוריות לוקחות מאפיינים של פונקציות אחרות, כמו פרקי עלייה וירידה, קמבויות שונות ומשכי שינוי מגוונים. עם זאת, בפונקציות מחזוריות, כל המאפיינים שנמצאים במחזור אחד של הפונקציה יהיו קיימים בכל מחזור של הפונקציה.

מטרת למידה 3.2.A: לקבוע את הסינוס, הקוסינוס והטנגנס של זווית באמצעות המעגל היחידתי.

• 3.2.A.1 במישור הקואורדינטי, זווית נמצאת במיקום סטנדרטי כאשר הצומת חופף עם הראשית וקרין אחד חופף עם הציר החיובי $x$. הקרין השני נקרא הקרין הסופי. מידות זווית חיוביות ושליליות מציינות סיבובים מהציר החיובי $x$ בכיוון נגד כיוון השעון ובכיוון השעון בהתאמה. זוויות במיקום סטנדרטי השונות בקרין הסופי שלהן נבדלות במספר שלם של סיבובים.
• 3.2.A.2 מידת הרדיאן של זווית במיקום סטנדרטי היא היחס בין אורך הקשת של מעגל הממוקם במרכזו הראשית ומותח על ידי הזווית לבין הרדיוס של אותו מעגל. עבור מעגל יחידתי, שרדיוסו $1$, מידת הרדיאן זהה לאורך הקשת המותחת.
• 3.2.A.3 נתונה זווית במיקום סטנדרטי ומעגל הממוקם במרכזו הראשית, קיים נקודה, $P$, בה הקרין הסופי חותך את המעגל. הסינוס של הזווית הוא היחס בין ההזזה האנכית של $P$ מהציר $x$ לבין המרחק בין הראשית לנקודה $P$. לכן, עבור מעגל יחידתי, הסינוס של הזווית הוא הקואורדינטה ה-$y$ של הנקודה $P$.
• 3.2.A.4 נתונה זווית במיקום סטנדרטי ומעגל הממוקם במרכזו הראשית, קיים נקודה, $P$, בה הקרין הסופי חותך את המעגל. הקוסינוס של הזווית הוא היחס בין ההזסה האופקית של $P$ מהציר $y$ לבין המרחק בין הראשית לנקודה $P$. לכן, עבור מעגל יחידתי, הקוסינוס של הזווית הוא הקואורדינטה ה-$x$ של הנקודה $P$.
• 3.2.A.5 נתונה זווית במיקום סטנדרטי, הטנגנס של הזווית הוא השיפוע, אם קיים, של הקרין הסופי. מכיוון ששיפוע הקרין הסופי הוא היחס בין ההזסה האנכית להזסה האופקית בכל תחום, הטנגנס של הזווית הוא היחס בין הקואורדינטה ה-$y$ לקואורדינטה ה-$x$ של הנקודה בה הקרין הסופי חותך את המעגל היחידתי; לחלופין, הוא היחס בין הסינוס של הזווית לקוסינוס שלה.

מטרת למידה 3.3.A: לקבוע קואורדינטות של נקודות במעגל הממוקם במרכזו הראשית.

• 3.3.A.1 נתונה זווית במידה $\theta$ במיקום סטנדרטי ומעגל ברדיוס $r$ הממוקם במרכזו הראשית, קיים נקודה, $P$, בה הקרין הסופי חותך את המעגל. הקואורדינטות של הנקודה $P$ הן $(r\cos\theta, r\sin\theta)$.
• 3.3.A.2 גיאומטריה של משולשים שווים-שוקיים ושווי-צדדים, תוך התחשבות בסימני הערכים בהתבסס על הרביע בו נמצא הזווית, יכולה לשמש למציאת ערכים מדויקים לקוסינוס ולסינוס של זוויות שהן כפלות של $\dfrac{\pi}{4}$ ו$\dfrac{\pi}{6}$ רדיאנים, כאשר הקרניים הסופיות שלהן אינן נמצאות על ציר.

מטרות לימוד 3.4.A: בניית מייצוגים לפונקציית הסינוס והקוסינוס באמצעות המעגל היחידתי.

• 3.4.A.1 נתונה זווית בגודל $\theta$ במיקום סטנדרטי ומעגל יחידתי שמרכזו בראשית, קיים נקודה, $P$, בה הקרן הסופית חוצה את המעגל. פונקציית הסינוס, $f(\theta) = \sin\theta$, נותנת את הקואורדינטה ה$y$, או ההזזה האנכית מה$x$-ציר, של הנקודה $P$. תחום ההגדרה של פונקציית הסינוס הוא כל המספרים הממשיים.
• 3.4.A.2 כאשר ערכי הקלט, או מידות הזווית, של פונקציית הסינוס עולים, ערכי הפלט מתנודדים בין $-1$ ל$1$, לוקחים כל ערך ביניהם ועוקבים אחרי המרחק האנכי של נקודות על המעגל היחידתי מה$x$-ציר.
• 3.4.A.3 נתונה זווית בגודל $\theta$ במיקום סטנדרטי ומעגל יחידתי שמרכזו בראשית, קיים נקודה, $P$, בה הקרן הסופית חוצה את המעגל. פונקציית הקוסינוס, $f(\theta) = \cos\theta$, נותנת את הקואורדינטה ה$x$, או ההזזה האופקית מה$y$-ציר, של הנקודה $P$. תחום ההגדרה של פונקציית הקוסינוס הוא כל המספרים הממשיים.
• 3.4.A.4 כאשר ערכי הקלט, או מידות הזווית, של פונקציית הקוסינוס עולים, ערכי הפלט מתנודדים בין $-1$ ל$1$, לוקחים כל ערך ביניהם ועוקבים אחרי המרחק האופקי של נקודות על המעגל היחידתי מה$y$-ציר.

מטרות לימוד 3.5.A: זיהוי מאפיינים מרכזיים של פונקציית הסינוס והקוסינוס.

• 3.5.A.1 פונקציה סינוסואידלית היא כל פונקציה המכילה טרנספורמציות חיבוריות וכפליות של $f(\theta) = \sin\theta$. פונקציית הסינוס והקוסינוס הן שתי פונקציות סינוסואידליות, עם $\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$.
• 3.5.A.2 התקופה והתדר של פונקציה סינוסואידלית הם הדדיים. התקופה של $f(\theta) = \sin\theta$ ו$g(\theta) = \cos\theta$ היא $2\pi$, והתדר הוא $\dfrac{1}{2\pi}$.
• 3.5.A.3 המשרעת של פונקציה סינוסואידלית היא חצי ההפרש בין ערכיה המקסימלי למינימלי. המשרעת של $f(\theta) = \sin\theta$ ו$g(\theta) = \cos\theta$ היא $1$.
• 3.5.A.4 הקו האמצעי של הגרף של פונקציה סינוסואידלית נקבע על ידי הממוצע האריתמטי של ערכיה המקסימלי והמינימלי. הקו האמצעי של גרפי $y = \sin\theta$ ו$y = \cos\theta$ הוא $y = 0$.
• 3.5.A.5 כאשר ערכי הקלט עולים, גרפי פונקציות סינוסואידליות מתנודדים בין קעורה כלפי מטה לקעורה כלפי מעלה.
• 3.5.A.6 לגרף של $y = \sin\theta$ יש סימטריה סיבובית סביב הראשית ולכן זוהי פונקציה זוגית. לגרף של $y = \cos\theta$ יש סימטריה השתקפותית סביב ה$y$-ציר ולכן זוהי פונקציה זוגית.

מטרות לימוד 3.6.A: זיהוי המשרעת, ההזזה האנכית, התקופה וההזזה הפאזית של פונקציה סינוסואידלית.

• 3.6.A.1 פונקציות שניתן לכתוב בצורה $f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ או $g(\theta) = a\cos(b(\theta + c)) + d$, כאשר $a, b, c,$ ו$d$ הם מספרים ממשיים ו$a \neq 0$, הן פונקציות סינוסואידליות והן טרנספורמציות של פונקציית הסינוס והקוסינוס. טרנספורמציות חיבוריות וכפליות זהות עבור שתי הפונקציות מכיוון שפונקציית הקוסינוס היא הזזת פאזה של פונקציית הסינוס ב$-\dfrac{\pi}{2}$ יחידות.
• 3.6.A.2 הגרף של הטרנספורמציה החיבורית $g(\theta) = \sin\theta + d$ של פונקציית הסינוס $f(\theta) = \sin\theta$ הוא העתקה אנכית של הגרף של $f$, כולל הקו האמצעי שלו, ב$d$ יחידות. אותה טרנספורמציה של פונקציית הקוסינוס מניבה את אותו תוצאה.
• 3.6.A.3 הגרף של הטרנספורמציה החיבורית $g(\theta) = \sin(\theta + c)$ של פונקציית הסינוס $f(\theta) = \sin\theta$ הוא העתקה אופקית, או הזזת פאזה, של הגרף של $f$ ב$-c$ יחידות. אותה טרנספורמציה של פונקציית הקוסינוס מניבה את אותו תוצאה.
• 3.6.A.4 הגרף של ההכפלה המכפלת $g(\theta) = a\sin\theta$ של פונקציית הסינוס $f(\theta) = \sin\theta$ הוא הרחבה אנכית של הגרף של $f$ ונבדל בהתאמה (אמפליטודה) בגורם של $|a|$. אותה הכפלה של פונקציית הקוסינוס נותנת את אותו תוצאה.
• 3.6.A.5 הגרף של ההכפלה המכפלת $g(\theta) = \sin(b\theta)$ של פונקציית הסינוס $f(\theta) = \sin\theta$ הוא הרחבה אופקית של הגרף של $f$ ונבדל בתקופה בגורם של $\left|\dfrac{1}{b}\right|$. אותה הכפלה של פונקציית הקוסינוס נותנת את אותו תוצאה.
• 3.6.A.6 לגרף של $y = f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ יש אמפליטודה של $|a|$ יחידות, תקופה של $\left|\dfrac{1}{b}\right|2\pi$ יחידות, הזזה אנכית לקו האמצע של $d$ יחידות מ-$y = 0$, והזזת פאזה של $-c$ יחידות. אותי שינויים בפונקציית הקוסינוס נותנים אותן תוצאות.

מטרות למידה 3.7.A: בניית דגמי פונקציות סינוסואידליות לתופעות מחזוריות.

• 3.7.A.1 התחום הקטן ביותר של ערכי קלט שבו ערכי הפלט המקסימום או המינימום מתחילים לחזור על עצמם, כלומר, תחום ערכי הקלט בין מקסימומים או מינימום עוקבים, יכול לשמש לקביעה או להערכת התקופה והתדר עבור דגם פונקציה סינוסואידלי.
• 3.7.A.2 ערכי הפלט המקסימום והמינימום יכולים לשמש לקביעה או להערכת ההתאמה (אמפליטודה) וההזזה האנכית עבור דגם פונקציה סינוסואידלי.
• 3.7.A.3 זוג מעשי של ערכי קלט-פלט ניתן להשוואה לזוגות קלט-פלט שנוצרו על ידי דגם פונקציה סינוסואידלי כדי לקבוע או להעריך הזזת פאזה לדגם.
• 3.7.A.4 ניתן לבנות דגמי פונקציות סינוסואידליים לערכי נתונים באמצעות טכנולוגיה על ידי הערכת ערכים מפתח או השימוש בריגרסיה סינוסואידלית.
• 3.7.A.5 פונקציות סינוסואידליות שמדגמות ערכי נתונים משמשות לעיתים רק בתחום ההקשר שלהן וניתן להשתמש בהן לחישוב ערכים של המשתנה התלוי מהערכים של המשתנה החופשי.

מטרות למידה 3.8.A: בניית נציגויות לפונקציית הטנג'נט באמצעי מעגל היחידה.

• 3.8.A.1 נתון זווית בעלת מידה $\theta$ במיקום סטנדרטי ומעגל יחידה שמרכזו בראשית, קיים נקודה, $P$, שבה הקרן הסופית חותכת את המעגל. פונקציית הטנג'נט, $f(\theta) = \tan\theta$, נותנת את השיפוע של הקרן הסופית.
• 3.8.A.2 מכיוון ששיפוע הקרן הסופית הוא היחס בין השינוי ב-$y$ לשינוי ב-$x$ בין שתי נקודות כלשהן בקרן, פונקציית הטנג'נט היא גם היחס בין פונקציית הסינוס לפונקציית הקוסינוס. לכן, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, כאשר $\cos\theta \neq 0$.

מטרות למידה 3.8.B: תיאור מאפיינים מפתח של פונקציית הטנג'נט.

• 3.8.B.1 מכיוון שערכי השיפוע של הקרן הסופית חוזרים על עצמם בכל מחצית סיבוב של המעגל, לפונקציית הטנג'נט יש תקופה של $\pi$.
• 3.8.B.2 פונקציית הטנג'נט מציגה התנהגות אסימפטוטית מחזורית בערכי קלט $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, עבור ערכים שלמים של $k$, מכיוון ש-$\cos\theta = 0$ בערכים אלו.
• 3.8.B.3 פונקציית הטנג'נט עולה וגרף שלה משתנה מקעור כלפי מטה לקעור כלפי מעלה בין אסימפטוטות עוקבות.

מטרות למידה 3.9.A: בניית נציגויות אנליטיות וגרפיות של ההפוך של פונקציית הסינוס, הקוסינוס והטנג'נט בתחום מוגבל.

• 3.9.A.1 עבור פונקציות טריגונומטריות הפוכות, ערכי הקלט והפלט מתחלפים ביחס לפונקציות הטריגונומטריות המקוריות, ולכן ערך הפלט של פונקציה טריגונומטרית הפוכה מופרש לעיתים קרובות כמידת זווית, בעוד שקלט הוא ערך בטווח של הפונקציה הטריגונומטרית המתאימה.
• 3.9.A.2 הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות נקראות סינוס הפוך, קוסין הפוך ו-טנגנס הפוך (נציגות גם ב$\sin^{-1}x, \cos^{-1}x,$ וב$\tan^{-1}x$). מכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות המקוריות הן מחזוריות, הן הפוכות רק אם התחום שלהן מוגבל.
• 3.9.A.3 כדי להגדיר את הפונקציות ההפוכות הרלוונטיות, תחום הפונקציה סינוס מוגבל ל$\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, תחום הפונקציה קוסין ל$[0, \pi]$, ותחום הפונקציה טנגנס ל$\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$.

מטרת הלמידה 3.10.A: פתרון משוואות ואי-שוויונים הכוללים פונקציות טריגונומטריות.

• 3.10.A.1 פונקציות טריגונומטריות הפוכות שימושיות בפתרון משוואות ואי-שוויונים הכוללים פונקציות טריגונומטריות, אך ייתכן שהפתרונים יצטרכו לשנוי בשל הגבלות תחום.
• 3.10.A.2 מכיוון שפונקציות טריגונומטריות הן מחזוריות, לעיתים קרובות ישנם אינסוף פתרונות למשוואות טריגונומטריות.
• 3.10.A.3 במשוואות ואי-שוויונים טריגונומטריים הנובעים ממסגרת קונטקסטואלית, לעיתים קרובות קיימת הגבלת תחום שניתן להסיק מהקונטקסט, דבר המגביל את מספר הפתרונים.

מטרת הלמידה 3.11.A: זיהוי מאפיינים מרכזיים של פונקציות הכוללות מנה של פונקציית הסינוס והקוסינוס.

• 3.11.A.1 פונקציית הסקנט, $f(\theta) = \sec\theta$, היא ההופך לפונקציית הקוסינוס, כאשר $\cos\theta \neq 0$.
• 3.11.A.2 פונקציית הקוסקנט, $f(\theta) = \csc\theta$, היא ההופך לפונקציית הסינוס, כאשר $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.3 לגרפי פונקציית הסקנט והקוסקנט ישנן אסימפטורות אנכיות כאשר הקוסינוס והסינוס שווים לאפס בהתאמה, ולטווח ערכים של $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• 3.11.A.4 פונקציית הקוטנג'נט, $f(\theta) = \cot\theta$, היא ההופכת לפונקציית הטנג'נט, כאשר $\tan\theta \neq 0$. באופן שקול, $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$, כאשר $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.5 לגרף פונקציית הקוטנג'נט ישנן אסימפטורות אנכיות עבור ערכי תחום שבהם $\tan\theta = 0$ והוא יורד בין אסימפטורות רצופות.

מטרת למידה 3.12.A: לחזור כתיבות טריגונומטריות לצורות שקולות באמצעות זהות פיthagorean.

• 3.12.A.1 ניתן להשתמש במשפט פיתגורס משולשים ישרי זווית עם נקודות על המעגל היחידה בנקודות $(\cos\theta, \sin\theta)$, מה שמוביל לזהות הפיתגורס: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
• 3.12.A.2 את זהות הפיתגורס ניתן לעבד אלגברית לצורות אחרות המכילות פונקציות טריגונומטריות, כמו $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$, וניתן להשתמש בה כדי להוכיח קשרים טריגונומטריים נוספים, כמו $\arcsin x = \arccos\left(\sqrt{1 - x^2}\right)$, עם הגבלות תחום מתאימות.

מטרת למידה 3.12.B: לחזור כתיבות טריגונומטריות לצורות שקולות באמצעות זהויות סכום של סינוס וקוסינוס.

• 3.12.B.1 זהות הסכום עבור סינוס היא $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.2 זהות הסכום עבור קוסינוס היא $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.3 גם זהויות הסכום עבור סינוס וקוסינוס יכולות לשמש כזהויות הפרש וזווית כפולה.
• 3.12.B.4 ניתן להשתמש בתכונות של פונקציות טריגונומטריות, זהויות טריגונומטריות ידועות ותכונות אלגבריות אחרות כדי לאמת זהויות טריגונומטריות נוספות.

מטרת למידה 3.12.C: לפתור משוואות באמצעות נציגויות אנליטיות שקולות של פונקציות טריגונומטריות.

• 3.12.C.1 נציגות שקולה ספציפית הכוללת ביטויים טריגונומטריים עשויה להקל על גישה למידע.
• 3.12.C.2 נציגויות טריגונומטריות שקולות עשויות להיות שימושיות בפתרון משוואות ואי-שוויונים טריגונומטריים.

מטרת למידה 3.13.A: לקבוע את מיקום הנקודה במישור באמצעות קואורדינטות רקטינגולריות וקואורדינטות קוטביות.

• 3.13.A.1 מערכת הקואורדינטות הקוטבית מבוססת על רשת של מעגלים הממוקמים במרכז הראשית ועל קווים העוברים דרכה. הקואורדינטות הקוטביות מוגדרות כזוג מסודר, $(r, \theta)$, כאשר $|r|$ מייצג את הרדיוס של המעגל עליו הנקודה שוכנת, ו$\theta$ מייצג את מידת הזווית במיקום תקני שערוך הסופי שלה מכילה את הנקודה. במערכת הקואורדינטות הקוטבית, אותו נקודה יכולה להיות מוצגת בדרכים רבות.
• 3.13.A.2 ניתן להמיר את הקואורדינטות של נקודה במערכת הקואורדינטות הקוטבית, $(r, \theta)$, לקואורדינטות במערכת הקואורדינטות הרקטינגולרית, $(x, y)$, באמצעות $x = r\cos\theta$ ו$y = r\sin\theta$.
• 3.13.A.3 ניתן להמיר את הקואורדינטות של נקודה במערכת הקואורדינטות הרקטינגולרית, $(x, y)$, לקואורדינטות במערכת הקואורדינטות הקוטבית, $(r, \theta)$, באמצעות $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ ו$\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$ עבור $x > 0$ או $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi$ עבור $x < 0$.
• 3.13.A.4 מספר מרוכב ניתן להבין כנקודה במישור המרוכב וניתן לקבועו באמצעות הקואורדינטות הרקטינגולריות או הקוטביות המתאימות לו. כאשר למספר המרוכב יש קואורדינטות רקטינגולריות $(a, b)$, ניתן לבטא אותו כ$a + bi$. כאשר למספר המרוכב יש קואורדינטות קוטביות $(r, \theta)$, ניתן לבטא אותו כ$(r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$.

מטרת למידה 3.14.A: לבנות גרפים של פונקציות קוטביות.

• 3.14.A.1 הגרף של הפונקציה $r = f(\theta)$ בקואורדינטות קוטביות מורכב מזוגות ערכים קלט-יציאה, כאשר הערכים הקולטים הם מידות זווית והערכים המקבלים הם רדיוסים.
• 3.14.A.2 תחום ההגדרה של הפונקציה הקוטבית $r = f(\theta)$, המוצג גרפית, ניתן לצמצם לחלק רצוי מהפונקציה על ידי בחירת נקודות קצה המתאימות לזווית ולרדיוס הרצויים.
• 3.14.A.3 בעת ציור פונקציות קוטביות בצורה של $r = f(\theta)$, שינויים בערכים הקולמים מתאימים לשינויים במידת הזווית מהציר החיובי $x$, ושינויים בערכים המקבלים מתאימים לשינויים במרחק מהראשית.

מטרת למידה 3.15.A: לתאר מאפיינים של גרף של פונקציה קוטבית.

• 3.15.A.1 אם פונקציה קוטבית, $r = f(\theta)$, חיובית ועולה או שלילית ויורדת, אז המרחק בין $f(\theta)$ לבין הראשית גדל.
• 3.15.A.2 אם פונקציה קוטבית, $r = f(\theta)$, חיובית ויורדת או שלילית ועולה, אז המרחק בין $f(\theta)$ לבין הראשית קטן.
• 3.15.A.3 עבור פונקציה קוטבית, $r = f(\theta)$, אם הפונקציה משנה כיוון מעלייה לירידה או מירידה לעלייה בתחום מסוים, אז לפונקציה יש אקסטרום מקומי בתחום זה המתאים לנקודה הקרובה ביותר או הרחוקה ביותר יחסית מהראשית.
• 3.15.A.4 קצב השינוי הממוצע של $r$ ביחס ל-$\theta$ בתחום של $\theta$ הוא היחס בין השינוי בערכי הרדיוס לבין השינוי ב-$\theta$ בתחום של $\theta$. גרפית, קצב השינוי הממוצע מצביע על הקצב שבו הרדיוס משתנה לכל רדיאן.
• 3.15.A.5 קצב השינוי הממוצע של $r$ ביחס ל-$\theta$ בתחום של $\theta$ יכול לשמש להערכת ערכים של הפונקציה בתוך התחום.