A-Level Mathematics · מתמטיקה A-Level · Topic 2 · נושא 2
12:32
מתמטיקה נקודתית 2
בשנת אלף ושניים מאתיים ואחת, רעידת אדמה מחוץ ליפן נמדדה בעוצמה 9 בסולם ריכטר. רעידה קטנה יותר עשויה להיערך בעוצמה 6. רק שלושה נקודות הפרידה — ועם זאת הרעידה הראשונה…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · קריאת קול באנגלית · תרגום אנגלי + סינית שרוף בתוך הסרטון
This handout covers Topic 2: Pure Mathematics 纯数学 2. It adds the modulus and polynomial algebra, logarithms 对数 and the exponential function 指数函数, more trigonometry, and new ways to differentiate and integrate.
חומר זה מכסה נושא 2: מתמטיקה נקייה 2. הוא מוסיף את הערך המוחלט ואלגברת פולינומים, לוגריתמים ופונקציית האקספוננץ, עוד טריגונומטריה ודרכים חדשות לגזור ולהינטגרל.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the meaning of $|x|$, sketch the graph of $y = |ax + b|$ and use relations such as $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ and $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ when solving equations and inequalities | Graphs of $y = |f(x)|$ and $y = f(|x|)$ for non-linear functions $f$ are not included. e.g. $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$ |
| divide a polynomial, of degree not exceeding 4, by a linear or quadratic polynomial, and identify the quotient and remainder (which may be zero) | |
| use the factor theorem and the remainder theorem. | e.g. to find factors and remainders, solve polynomial equations or evaluate unknown coefficients. Including factors of the form $(ax + b)$ in which the coefficient of $x$ is not unity, and including calculation of remainders. |
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| להבין את המשמעות של $|x|$, לצייר גרף של $y = |ax + b|$ ולהשתמש בקשרים כמו $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ ו-$|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ בעת פתירת משוואות ואי-שוויונות | גרפים של $y = |f(x)|$ ו-$y = f(|x|)$ לפונקציות לא ליניאריות $f$ אינם כלולים. לדוגמה: $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$ |
| לחלק פולינום בעל דרגה上不 exceeding 4, על ידי פולינום ליניארי או ריבועי, ולזהות את המנה ואת השארית (שהן עשויות להיות אפס) | |
| להשתמש במשפט הגורם ובמשפט השארית. | לדוגמה: למצוא גורמים ושאריות, לפתור משוואות פולינומיות או להעריך מקדמים לא ידועים. כולל גורמים בצורת $(ax + b)$ שבהם המקדם של $x$ אינו אחיד, וכולל חישוב של שאריות. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
The modulus 绝对值 $|x|$ is the size of a number with its sign removed, so $|x| \geqslant 0$ always. The graph of $y = |ax + b|$ is a "V" shape that bounces off the $x$-axis. Two useful rules for solving equations and inequalities are
Worked example. Solve $|3x + 8| < 9$.
Using the second rule with the inequality written as $-9 < 3x + 8 < 9$:
A polynomial 多项式 is a sum of powers of $x$, such as $2x^4 + 3x^2 - 5$. Its degree 次数 is the highest power. When you divide one polynomial by another you get a quotient 商 and a remainder 余数.
Worked example. The polynomial $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ has factor $(x + 2)$. Find $k$.
By the factor theorem $p(-2) = 0$:
הערך המוחלט $|x|$ הוא הגודל של מספר ללא הסימן שלו, ולכן $|x| \geqslant 0$ תמיד. הגרף של $y = |ax + b|$ הוא בצורת "V" שמסתובבת מהציר $x$. שתי כללים שימושיים לפתרון משוואות ואי-שוויונות הם
דוגמה מופתרת. פתור את $|3x + 8| < 9$.
השתמשו בכלל השני עם האי-שוויון הכתוב כ$-9 < 3x + 8 < 9$:
פולינום הוא סכום של חזקות של $x$, כמו $2x^4 + 3x^2 - 5$. המעלה שלו היא החזקה הגבוהה ביותר. כאשר מחלקים פולינום אחד באחר, מקבלים מנה ושארית.
דוגמה מפורטת. הפולינום $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ מכיל גורם $(x + 2)$. מצאו את $k$.
על פי משפט הגורמים $p(-2) = 0$:
y = a|x − b| + c
The modulus makes a V-shape. Move its vertex with b and c; change how steep the arms are with a. · הערך המוחלט יוצר צורת V. הזיזו את הראש עם b ו-c; שינו את הזווית של הזרועות עם a.
| English | עברית |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | מתמטיקה טהורה |
| logarithms/ˈlɒɡərɪθəmz/ | לוגריתמים |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה מעריכית |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | מודולוס |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | פולינום |
| degree/dɪˈɡriː/ | מעלה |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | מכפיל |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | שארית |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | משפט שארית |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | משפט גורם |
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | מעריכים |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | חוקי לוגריתמים |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | לוגריתם טבעי |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | צורה ליניארית |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the relationship between logarithms and indices, and use the laws of logarithms (excluding change of base) | |
| understand the definition and properties of $e^x$ and $\ln x$, including their relationship as inverse functions and their graphs | Including knowledge of the graph of $y = e^{kx}$ for both positive and negative values of $k$. |
| use logarithms to solve equations and inequalities in which the unknown appears in indices | e.g. $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$ |
| use logarithms to transform a given relationship to linear form, and hence determine unknown constants by considering the gradient and/or intercept. | e.g. $y = kx^n$ gives $\ln y = \ln k + n \ln x$ which is linear in $\ln x$ and $\ln y$ $y = k(a^x)$ gives $\ln y = \ln k + x \ln a$ which is linear in $x$ and $\ln y$. |
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| להבין את הקשר בין לוגריתמים לבין מעריכים, ולהשתמש בחוקי הלוגריתמים (למעט שינוי בסיס) | |
| הבנת ההגדרה והמאפיינים של $e^x$ ו-$\ln x$, כולל הקשר ביניהם כפונקציות הפוכות וגרפים שלהן | כולל ידע לגבי הגרף של $y = e^{kx}$ גם לערכים חיוביים וגם לערכים שליליים של $k$. |
| להשתמש בלוגריתמים כדי לפתור משוואות ואי-שוויונים שבהם המשתנה נמצא במעריכים | לדוגמה: $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$ |
| להשתמש בלוגריתמים כדי למירט קשר נתון לצורה ליניארית, ולכן לקבוע קבועים לא ידועים על ידי התבוננות במשפיעה וב/או בחיתוך עם ציר ה-y. | לדוגמה: $y = kx^n$ מניב $\ln y = \ln k + n \ln x$ שהוא ליניארי ב$\ln x$ ו$\ln y$; $y = k(a^x)$ מניב $\ln y = \ln k + x \ln a$ שהוא ליניארי ב$x$ ו$\ln y$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A logarithm answers the question "what power?". If $a^x = y$ then $x = \log_a y$. Logarithms and indices 指数 (powers) are reverse ideas. The laws of logarithms 对数定律 are
The exponential function $e^x$ and the natural logarithm 自然对数 $\ln x$ are inverse functions, so $\ln(e^x) = x$ and $e^{\ln x} = x$. When the unknown is in the power, take logs of both sides.
Worked example. Solve $4^x < 0.05$.
Linear form 线性形式: a relationship like $y = Ax^n$ becomes a straight line if you take logs: $\ln y = \ln A + n\ln x$. Plotting $\ln y$ against $\ln x$ gives a line with gradient $n$ and intercept $\ln A$, so you can find the unknown constants.
לוגריתם מענה לשאלה "איזה חזקה?". אם $a^x = y$ אזי $x = \log_a y$. לוגריתמים ו-מערכים (חזקות) הם רעיונות הפוכים זה לזה. חוקי הלוגריתמים הם
הפונקציה האקספוננציאלית $e^x$ וה-לוגריתם הטבעי $\ln x$ הן פונקציות הדופקות זו את זו, ולכן $\ln(e^x) = x$ ו-$e^{\ln x} = x$. כאשר המשתנה הנעלם נמצא בחזקה, יש לקחת לוגריתם משני הצדדים.
דוגמה מופתרת. פתור את $4^x < 0.05$.
צורה ליניארית: קשר כמו $y = Ax^n$ הופך לקו ישר כאשר לוקחים לוגריתם: $\ln y = \ln A + n\ln x$. ציור גרף של $\ln y$ מול $\ln x$ נותן קו עם שיפוע $n$ וחיתוך עם ציר ה-y $\ln A$, ולכן ניתן למצוא את הקבועים הנעלמים.
y = a·bˣ
Change the base b: when b > 1 the curve grows, when 0 < b < 1 it decays — and it always passes through (0, a). · שינוי הבסיס b: כאשר b > 1 הפונקציה גוברת, כאשר 0 < b < 1 היא דועכת — והיא תמיד עוברת דרך הנקודה (0, a).
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the relationship of the secant, cosecant and cotangent functions to cosine, sine and tangent, and use properties and graphs of all six trigonometric functions for angles of any magnitude | |
| use trigonometrical identities for the simplification and exact evaluation of expressions, and in the course of solving equations, and select an identity or identities appropriate to the context, showing familiarity in particular with the use of: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ and $\csc^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – the expansions of $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ and $\tan(A \pm B)$ – the formulae for $\sin 2A$, $\cos 2A$ and $\tan 2A$ – the expression of $a \sin \theta + b \cos \theta$ in the forms $R \sin(\theta \pm \alpha)$ and $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | e.g. simplifying $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. e.g. solving $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| להבין את הקשר בין פונקציות הסקנט, הקוסקנט והקוטנגנס לפונקציות הקוסינוס, הסינוס והטנגנס, ולהשתמש בתכונות ובגרפים של כל שש הפונקציות הטריגונומטריות עבור זוויות בכל גודל | |
| שימוש בזהויות טריגונומטריות לפישוט ולחישוב מדויק של ביטויים, ובמהלך פתרון משוואות, ובחירת זהות או זהויות המתאימות להקשר, תוך הצגת היכרות בפרט עם השימוש ב-: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ ו-$\csc^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – הרחבות של $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ ו-$\tan(A \pm B)$ – הנוסחאות עבור $\sin 2A$, $\cos 2A$ ו-$\tan 2A$ – הביטוי של $a \sin \theta + b \cos \theta$ בצורות $R \sin(\theta \pm \alpha)$ ו-$R \cos(\theta \pm \alpha)$. | לדוגמה: פישוט $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. לדוגמה: פתרון $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
There are three more functions, each the reciprocal of one you know: the secant 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, the cosecant 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, and the cotangent 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.
You must know these trigonometric identities 三角恒等式 and choose the right one for each problem:
Worked example. Solve $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$ for $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Replace $\tan^2\theta$ with $\sec^2\theta - 1$ to get one function:
ישנן עוד שלוש פונקציות, כל אחת מהן ההפוך של אחת שאתם מכירים: סקאנט $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, קוסקאנט $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, וקוטנג'נט $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.
חובה לדעת זהויות טריגונומטריות אלו לבחור את הנכונה לכל בעיה:
דוגמה מופת. פתרו $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$ עבור $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
החלף את $\tan^2\theta$ ב-$\sec^2\theta - 1$ כדי לקבל פונקציה אחת:
Drag the angle to see how $\sin$, $\cos$ and $\tan$ relate — the key to solving trig equations. · גרור את הזווית כדי לראות כיצד $\sin$, $\cos$ ו-$\tan$ קשורים זה לזה — המפתח לפתרון משוואות טריגונומטריות.
| English | עברית |
|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | סקנט |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | קוסקנט |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | קוטנגנס |
| trigonometric identities/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk aɪˈdentɪtiz/ | זהויות טריגונומטריות |
| compound angle/ˈkɒmpaʊnd ˈæŋɡl/ | זווית מורכבת |
| double angle/ˈdʌbl ˈæŋɡl/ | זווית כפולה |
| R-formula/ɑː ˈfɔːmjʊlə/ | נוסחת R |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | כלל המכפלה |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | כלל המנה |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | משוואות פרמטריות |
| implicitly/ɪmˈplɪsɪtli/ | באופן אי-מפורש |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use the derivatives of $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, together with constant multiples, sums, differences and composites | |
| differentiate products and quotients | e.g. $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1 - x^2}$. |
| find and use the first derivative of a function which is defined parametrically or implicitly. | e.g. $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. e.g. $x^2 + y^2 = xy + 7$. Including use in problems involving tangents and normals. |
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| להשתמש בגזירות של $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, יחד עם כפילות קבועה, סכומים, הפרשים וקומפוזיציות | |
| לגזור מכפלות ומכסים | לדוגמה: $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1 - x^2}$. |
| למצוא ולהשתמש בגזירה הראשונה של פונקציה המוגדרת פרמטרית או איplcitly. | לדוגמה: $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. לדוגמה: $x^2 + y^2 = xy + 7$. כולל שימוש בבעיות הקשורות למשיקים ונירמלים. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Learn these standard derivatives:
For a product or a quotient of two functions, use:
When a curve is given by parametric equations 参数方程 $x = x(t)$, $y = y(t)$, the gradient is $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. When $y$ is defined implicitly 隐式 (not made the subject), differentiate every term with respect to $x$, using the chain rule on the $y$ terms, then solve for $\dfrac{dy}{dx}$.
Worked example. Given $y = 6x\cos(x^2 + 1)$, find $\dfrac{dy}{dx}$.
Use the product rule with $u = 6x$ and $v = \cos(x^2 + 1)$ (and the chain rule for $v$):
למדו נגזרות סטנדרטיות אלו:
למכפלה או למנה של שתי פונקציות, השתמשו ב:
כאשר עקומה נתונה על ידי משוואות פרמטריות $x = x(t)$, $y = y(t)$, השיפוע הוא $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. כאשר $y$ מוגדר אינסופית (לא הוצג כנושא), גזרו כל איבר לפי $x$, תוך שימוש בכלל השרשרת באיברים $y$, ולאחר מכן פתרו עבור $\dfrac{dy}{dx}$.
דוגמה מפורטת. נתון $y = 6x\cos(x^2 + 1)$, מצאו $\dfrac{dy}{dx}$.
השתמשו בכלל המכפלה עם $u = 6x$ ו$v = \cos(x^2 + 1)$ (וגם בכלל השרשרת עבור $v$):
y = ax³ + bx² + cx + d
Move the point: the tangent line is the derivative at that x. Where the curve turns, the gradient is zero. · הזז את הנקודה: המשיק הוא הנגזרת בנקודה זו ב-x. במקום שבו העקומה משנה כיוון, השיפוע הוא אפס.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • extend the idea of ‘reverse differentiation’ to include the integration of $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$ and $\sec^2(ax + b)$ | Knowledge of the general method of integration by substitution is not required. |
| • use trigonometrical relationships in carrying out integration | e.g. use of double-angle formulae to integrate $\sin^2 x$ or $\cos^2(2x)$. |
| • understand and use the trapezium rule to estimate the value of a definite integral. | Including use of sketch graphs in simple cases to determine whether the trapezium rule gives an over-estimate or an under-estimate. |
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| • להרחיב את הרעיון של 'גזירה הפוכה' כדי לכלול את האינטגרציה של $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$ ו$\sec^2(ax + b)$ | ידע בשיטה הכללית של אינטגרציה בהצבה אינו נדרש. |
| • להשתמש בקשרים טריגונומטריים בביצוע אינטגרציה | לדוגמה: שימוש בנוסחת זווית כפולה כדי לאינטגרל $\sin^2 x$ או $\cos^2(2x)$. |
| • להבין ולהשתמש בכלל הטרפז כדי להעריך את ערך אינטגרל מסוים. | כולל שימוש בגרפי סקיצה במקרים פשוטים כדי לקבוע האם כלל הטרפז נותן הערכת יתר או הערכת חסר. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Integration is reverse differentiation — reverse each new derivative; harder integrals may need integration by substitution 换元积分 (developed in Pure 3). For a linear inside function $(ax + b)$:
Worked example. Find $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$.
Use $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$:
אינטגרציה היא נגזירה הפוכה — הפכו כל נגזרה חדשה; אינטגרציות קשות יותר עשויות לדורש אינטגרציה בהצבה (פותחת ב-Pure 3). עבור פונקציה ליניארית בתוך הפונקציה $(ax + b)$:
דוגמה מפורטת. מצא $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$.
השתמשו ב$\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$:
area = ∫ f(x) dx · שטח = ∫ f(x) dx
The integral still measures area — drag a and b to total the strip under the curve. · האינטגרל עדין מודד שטח — גרור את a ו-b כדי לחשב את סך הרצועה מתחת לעקומה.
| English | עברית |
|---|---|
| trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/ | שיטת טרפזים |
| root/ruːt/ | שורש |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • locate approximately a root of an equation, by means of graphical considerations and/or searching for a sign change | e.g. finding a pair of consecutive integers between which a root lies. |
| • understand the idea of, and use the notation for, a sequence of approximations which converges to a root of an equation | |
| • understand how a given simple iterative formula of the form $x_{n + 1} = \text{F}(x_n)$ relates to the equation being solved, and use a given iteration, or an iteration based on a given rearrangement of an equation, to determine a root to a prescribed degree of accuracy. | Knowledge of the condition for convergence is not included, but an understanding that an iteration may fail to converge is expected. |
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| • למקם בקירוב שורש של משוואה, באמצעות considerations גרפיים וב/או חיפוש אחר שינוי סימן | לדוגמה: מציאת זוג של מספרים שלמים רצופים שביניהם נמצא שורש. |
| • להבין את הרעיון ולשתמש בסימון עבור סדרה של קירובים הנכנסים לשורש של משוואה | |
| • הבנת הקשר בין נוסחת איטרציה פשוטה נתונה מהצורה $x_{n + 1} = \text{F}(x_n)$ למשוואה הנפתרת, ושימוש באיטרציה נתונה או איטרציה המבוססת על סידור מחדש נתון של משוואה כדי לקבוע שורש ברמת דיוק נקובה. | אינו כלול ידע בתנאי התכנסות, אך מצופה הבנה שאיטרציה עשויה להכשל ולהתכנס. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Many equations cannot be solved exactly. Two ideas help you find a root 根 (a solution).
Worked example. A root $\beta$ of an equation satisfies $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$, and $-1.4 < \beta < -1.0$. Use the iteration $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$ with $x_0 = -1.2$.
מספר משוואות אינן ניתנות לפתרון מדויק. שתי רעיונות עוזרים לך למצוא שורש (פתרון).
דוגמה פתורה. שורש $\beta$ של משוואה מקיים $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$, ועבור $-1.4 < \beta < -1.0$. השתמש באיטרציה $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$ עם $x_0 = -1.2$.
y = ax³ + bx² + cx + d
A root is where the curve crosses zero. A sign change in f(x) traps a root between two x-values. · שורש הוא הנקודה בה הגרף חוצה אפס. שינוי סימן ב-f(x) לוכד שורש בין שני ערכי x.
| English | עברית |
|---|---|
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | שינוי סימן |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | איטרציה |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | נוסחה איטרטיבית |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | מתכנס |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | אינטגרציה על ידי הצבה |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
Loading subjects… · טוען נושאים…