The sine and cosine rules · Les lois du sinus et du cosinus
| English | Français |
|---|---|
| sine rule/saɪn ruːl/ | règle du sinus |
| cosine rule/ˈkəʊsaɪn ruːl/ | règle du cosinus |
| included angle/ɪnˈkluːdɪd ˈæŋɡl/ | angle inclus |
When the triangle isn't right-angled
- Pythagoras and SOH-CAH-TOA only work for right-angled triangles.
- For any other triangle, you need the sine rule · règle du sinus 正弦定理 or the cosine rule · règle du cosinus 余弦定理.
The sine rule
- For any triangle with sides $a, b, c$ opposite angles $A, B, C$:
- Use it when you know: a side and its opposite angle, plus one other piece.
$a = 10$, $A = 30^{\circ}$, $B = 50^{\circ}$: $\;\dfrac{10}{\sin 30^{\circ}} = \dfrac{b}{\sin 50^{\circ}} \Rightarrow b = \dfrac{10 \sin 50^{\circ}}{0.5} = 15.3$.
$y=\sin x$ and · et $y=\cos x$ are smooth waves between $-1$ and · et $1$; cosine is sine shifted left by $90^\circ$
Sine & cosine rule · Loi du sinus & loi du cosinus
Two sides and the angle between them fix the triangle: the cosine rule finds the third side, the sine rule the other angles. · Deux côtés et l'angle compris fixent le triangle : la loi du cosinus trouve le troisième côté, la loi du sinus les autres angles.
What sin and cos mean · Ce que signifient sin et cos
Spin the angle on the unit circle: the horizontal leg is cos θ and the vertical leg is sin θ — the same ratios the sine and cosine rules use. · Faites tourner l'angle sur le cercle unité : le côté horizontal est cos θ et le côté vertical est sin θ — les mêmes rapports utilisés par les lois du sinus et du cosinus.
You know all three sides and want an angle. Which rule do you use? · Vous connaissez les trois côtés et voulez un angle. Quelle règle utilisez-vous ?
With three sides (or two sides and the included angle), use the cosine rule. · Avec trois côtés (ou deux côtés et l'angle compris), utilisez la règle du cosinus.
The sine rule requires a side and its opposite angle to be known. · La règle du sinus nécessite qu'un côté et son angle opposé soient connus.
You need at least one side paired with its opposite angle to apply the sine rule. · Vous avez besoin d'au moins un côté apparié à son angle opposé pour appliquer la règle du sinus.
In a triangle, a = 10, A = 30°, B = 50°. Using the sine rule, b = 10 sin 50° / sin 30°. Find b (1 dp). · Dans un triangle, a = 10, A = 30°, B = 50°. En utilisant la règle du sinus, b = 10 sin 50° / sin 30°. Trouvez b (1 décimale).
b = 10 × sin 50° / 0.5 = 10 × 0.766 / 0.5 = 15.3.
The cosine rule
- Use it when you know: two sides and the included angle 夹角 (to find the third side), or all three sides (to find an angle).
Included angle only. The angle $A$ in the cosine rule must be the angle between · entre sides $b$ and · et $c$. If it's not the included angle, the formula doesn't apply directly.
In any triangle, sides $a,b,c$ lie opposite angles $A,B,C$; the sine and cosine rules use these
A triangle has b = 7, c = 8 and the angle between them A = 40°. Using a² = 49 + 64 − 2(7)(8)cos40° ≈ 27.2, find a (1 dp). · Un triangle a b = 7, c = 8 et l'angle entre eux A = 40°. En utilisant a² = 49 + 64 − 2(7)(8)cos40° ≈ 27.2, trouvez a (1 décimale).
a = √27.2 ≈ 5.2 cm.
In the cosine rule a² = b² + c² − 2bc cos A, the angle A must be the ______ angle between sides b and c. · Dans la règle du cosinus a² = b² + c² − 2bc cos A, l'angle A doit être l'angle ______ entre les côtés b et c.
A must be the included angle (the angle between sides b and c). · A doit être l'angle compris (l'angle entre les côtés b et c).
Area of any triangle
- This works for any triangle (not just right-angled ones), using two sides and the included angle.
The area of any triangle (two sides a, b with angle C between them) is: · L'aire de tout triangle (deux côtés a, b avec l'angle C entre eux) est :
Area = ½ab sin C uses two sides and the included angle. · Aire = ½ab sin C utilise deux côtés et l'angle compris.
Worked example · Exemple corrigé
- $b = 7$, $c = 8$, included angle $A = 40^{\circ}$.
- $a^2 = 7^2 + 8^2 - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 49 + 64 - 85.8 = 27.2$, so $a = 5.2$ cm.
The cosine rule generalises Pythagoras: when $A = 90^{\circ}$, $\cos A = 0$ and you get $a^2 = b^2 + c^2$.
Sides a = 5, b = 7, c = 8. Find angle A opposite a, to 1 dp. · Les côtés a = 5, b = 7, c = 8. Trouver l'angle A opposé à a, à 1 décimales.
cos A = (49+64−25)/112 = 11/14, so A ≈ 38.2°. · cos A = (49+64−25)/112 = 11/14, donc A ≈ 38.2°.
Finding an angle and checking the other possibility
- With sides $a=5,b=7,c=8$, use $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(49+64-25)/112=11/14$. Thus $A=\cos^{-1}(11/14)\approx38.2^{\circ}$.
- In a sine-rule question, $a=10,A=30^{\circ},b=12$ gives $\sin B=b\sin A/a=0.6$. Both $B\approx36.9^{\circ}$ and · et $143.1^{\circ}$ leave a positive third angle, so two triangles are possible. Use any extra condition, such as B being obtuse, to choose.
Two sides 7 cm and 8 cm include 40°. Find the area to 1 dp in cm². · Deux côtés mesurent 7 cm et 8 cm et incluent un angle de 40°. Trouver l'aire à 1 décimales en cm².
Area = ½ × 7 × 8 × sin 40° ≈ 18.0 cm². · Aire = ½ × 7 × 8 × sin 40° ≈ 18.0 cm².
Area with an included angle
- Two sides 7 cm and 8 cm include $40^{\circ}$. Use $K=\frac12bc\sin A=\frac12(7)(8)\sin40^{\circ}\approx18.0\text{ cm}^2$.
- The angle must lie between the two sides used. Keep degree mode and full trigonometric values until the final rounding.
You've got it
- sine rule · règle du sinus: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ — side + its opposite angle
- cosine rule · règle du cosinus: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ — two sides + included angle (or three sides)
- area of any triangle $= \dfrac{1}{2}ab\sin C$