Pythagoras and trigonometry in 3D · Pythagore et trigonométrie en 3D
| English | Français |
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| space diagonal/speɪs daɪˈæɡənl/ | diagonale spatiale |
| base diagonal/beɪs daɪˈæɡənl/ | diagonale de base |
The diagonal through a room
- How long is the longest pole that fits inside a box? It's the space diagonal 空间对角线 — running from one corner to the far opposite corner.
- 3D Pythagoras and trig reduce this to a flat triangle hidden inside the solid.
La diagonale à travers une pièce
- Quelle est la longueur de la plus longue perche qui rentre dans une boîte ? C'est la diagonale spatiale 空间对角线 — allant d'un coin à l'angle opposé éloigné.
- Le Pythagore 3D et la trigonométrie réduisent cela à un triangle plat caché à l'intérieur du solide.
The strategy: find a triangle inside
- Every 3D problem becomes a 2D problem: spot a right-angled triangle inside the solid, then use Pythagoras or trig on it.
- Often you find a base diagonal 底面对角线 first, then bring in the height to form a second triangle.
La stratégie : trouver un triangle à l'intérieur
- Chaque problème 3D devient un problème 2D : repérez un triangle rectangle à l'intérieur du solide, puis appliquez Pythagore ou la trigonométrie dessus.
- Souvent, vous trouvez d'abord une diagonale de base 底面对角线, puis ajoutez la hauteur pour former un second triangle.
Pythagoras' theorem · Théorème de Pythagore
In a right-angled triangle a² + b² = c². The same idea, applied twice, gives lengths inside 3-D solids. · Dans un triangle rectangle a² + b² = c². La même idée, appliquée deux fois, donne des longueurs à l'intérieur de solides 3D.
A box has a base 6 cm by 8 cm. Find the length of the base diagonal (cm). · Une boîte a une base de 6 cm sur 8 cm. Trouvez la longueur de la diagonale de la base (cm).
√(6² + 8²) = √100 = 10 cm.
In a 3-D problem you look for a right-angled triangle inside the solid to work with. · Dans un problème en 3D, vous cherchez un triangle rectangle à l'intérieur du solide pour travailler.
The whole 3-D method is to reduce it to a flat right-angled triangle. · Toute la méthode 3D consiste à la réduire à un triangle rectangle plat.
In 3D problems, you often find the ______ diagonal first, then use it with the height. · Dans les problèmes en 3D, vous trouvez souvent la ______ diagonale en premier, puis l'utilisez avec la hauteur.
The base diagonal (found using 2D Pythagoras) becomes one side of a second right triangle with the height. · La diagonale de la base (trouvée via Pythagore 2D) devient un côté d'un second triangle rectangle avec la hauteur.
Worked example — box diagonal
- A box has base $6\text{ cm} \times 8\text{ cm}$, height $5\text{ cm}$.
- Step 1 — base diagonal: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.
- Step 2 — space diagonal: $\sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 11.2\text{ cm}$.
Exemple résolu — diagonale de boîte
- Une boîte a une base $6\text{ cm} \times 8\text{ cm}$, une hauteur $5\text{ cm}$.
- Étape 1 — diagonale de base : $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.
- Étape 2 — diagonale de l'espace : $\sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 11.2\text{ cm}$.
A box has dimensions 6, 8 and 5 cm. The space diagonal is √(6² + 8² + 5²). Find it (1 dp). · Une boîte a des dimensions de 6, 8 et 5 cm. La diagonale de l'espace est √(6² + 8² + 5²). Trouvez-la (1 décimale).
√(36 + 64 + 25) = √125 ≈ 11.2 cm.
A cube has side 3 cm. Its space diagonal is √(3² + 3² + 3²) = √27. Find it (2 dp). · Un cube a un côté de 3 cm. Sa diagonale de l'espace est √(3² + 3² + 3²) = √27. Trouvez-la (2 décimales).
√27 = 3√3 ≈ 5.20 cm.
Worked example — angle to the base
- The base diagonal ($10$) and height ($5$) form a right triangle.
- $\tan\theta = \dfrac{5}{10} = 0.5$, so $\theta = \tan^{-1}(0.5) = 26.6^{\circ}$.
3D Pythagoras shortcut. The space diagonal of a box $l \times w \times h$ is $\sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$. For our box: $\sqrt{36 + 64 + 25} = \sqrt{125} = 11.2$ cm.
Two steps, not one. For the angle, you need the base diagonal AND the height to form the second triangle. Using the space diagonal as a side gives the wrong angle.
Exemple résolu — angle vers la base
- La diagonale de base ($10$) et la hauteur ($5$) forment un triangle rectangle.
- $\tan\theta = \dfrac{5}{10} = 0.5$, donc $\theta = \tan^{-1}(0.5) = 26.6^{\circ}$.
Raccourci Pythagore 3D. La diagonale de l'espace d'un parallélépipède $l \times w \times h$ est $\sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$. Pour notre boîte : $\sqrt{36 + 64 + 25} = \sqrt{125} = 11.2$ cm.
Deux étapes, pas une seule. Pour l'angle, il faut la diagonale de la base ET la hauteur pour former le second triangle. Utiliser la diagonale de l'espace comme côté donne un angle incorrect.
The base diagonal is 10 cm and the box height is 5 cm. The angle to the base has tan θ = 5/10. Find θ (degrees, 1 dp). · La diagonale de la base est 10 cm et la hauteur de la boîte est 5 cm. L'angle par rapport à la base a tan θ = 5/10. Trouvez θ (degrés, 1 décimale).
θ = tan⁻¹(0.5) = 26.6°.
Where 3D trig appears
- Architecture: the angle of a roof rafter, the diagonal of a room.
- Engineering: the length of a support strut, the angle of a crane arm.
3D Pythagoras is just 2D Pythagoras applied twice — first on the base, then with the height.
Où apparaît la trigonométrie 3D
- Architecture : l'angle d'un chevron de toit, la diagonale d'une pièce.
- Ingénierie : la longueur d'un montant de support, l'angle d'un bras de grue.
Le théorème de Pythagore en 3D n'est que le théorème de Pythagore en 2D appliqué deux fois — d'abord sur la base, puis avec la hauteur.
You've got it
- in 3D, spot a right-angled triangle inside the solid, then use Pythagoras/trig
- often find a base diagonal first, then bring in the height
- box $6 \times 8 \times 5$: base diagonal $10$, space diagonal $\sqrt{125} \approx 11.2$, angle $26.6^{\circ}$
Vous avez compris
- En 3D, repérer un triangle rectangle à l'intérieur du solide, puis appliquer Pythagore/trig
- souvent trouver d'abord une diagonale de base, puis ajouter la hauteur
- boîte $6 \times 8 \times 5$ : diagonale de base $10$, diagonale de l'espace $\sqrt{125} \approx 11.2$, angle $26.6^{\circ}$