Parallel and perpendicular lines · Lignes parallèles et perpendiculaires
| English | Français |
|---|---|
| parallel/ˈpærəlel/ | parallèle |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | perpendiculaires |
| negative reciprocal/ˈneɡətɪv rɪˈsɪprəkl/ | inverse négatif |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | médiatrice |
Railway tracks and city grids
- Railway tracks run parallel 平行 — the same gradient, never meeting, stretching to the horizon.
- Streets in a planned city like New York or Barcelona cross at right angles, forming a grid.
- Both ideas — parallel and perpendicular 垂直 — come down to one thing: the gradient.
Voies ferrées et grilles urbaines
- Les rails de chemin de fer sont parallèles : même pente, jamais de rencontre, s'étendant jusqu'à l'horizon.
- Les rues d'une ville planifiée comme New York ou Barcelone se croisent à angle droit, formant une grille.
- Les deux notions — parallèle et perpendiculaire — se résument à une seule chose : la pente.
Parallel lines
- Parallel lines never meet, no matter how far you extend them.
- Distinct nonvertical lines are parallel when they have the same gradient. Vertical lines are parallel too, but have no defined gradient.
- $y = 4x - 1$ and $y = 4x + 7$ are parallel (both have $m = 4$).
Find a parallel line. The line parallel to $y = 4x - 1$ through $(1, -3)$: same gradient $4$, so $-3 = 4(1) + c \Rightarrow c = -7$. The equation is $y = 4x - 7$.
Parallel lines share a gradient; perpendicular gradients multiply to $-1$
Droites parallèles
- Les droites parallèles ne se rencontrent jamais, peu importe leur prolongement.
- Des droites distinctes non verticales sont parallèles si elles ont la même pente. Les lignes verticales sont aussi parallèles entre elles, mais n'ont pas de pente définie.
- $y = 4x - 1$ et $y = 4x + 7$ sont parallèles (elles ont toutes deux $m = 4$).
Trouver une droite parallèle. La droite parallèle à $y = 4x - 1$ passant par $(1, -3)$ : même pente $4$, donc $-3 = 4(1) + c \Rightarrow c = -7$. L'équation est $y = 4x - 7$.
Droites parallèles partagent une pente ; les pentes perpendiculaires se multiplient pour donner $-1$
Parallel & perpendicular · Parallèle & perpendiculaire
y = ax + b
Parallel · Parallèle lines share a gradient; perpendicular gradients multiply to −1. · Parallèle lignes partagent un gradient ; perpendiculaire gradients multiplient à −1.
A line is parallel to y = 4x − 1 and passes through (1, −3). In y = 4x + c, what is c? · Une ligne est parallèle à y = 4x − 1 et passe par (1, −3). Dans y = 4x + c, quelle est c ?
Parallel → same gradient 4. −3 = 4(1) + c, so c = −7. · Parallèle → même gradient 4. −3 = 4(1) + c, donc c = −7.
Which line is parallel to y = −2x + 5? · Quelle ligne est parallèle à y = −2x + 5 ?
Parallel lines have the same gradient. y = −2x − 3 has gradient −2, the same as y = −2x + 5. · Les lignes parallèles ont le même gradient. y = −2x − 3 a un gradient de −2, identique à celui de y = −2x + 5.
Perpendicular lines (Extended)
- Two lines are perpendicular if they meet at a right angle ($90°$).
- Their gradients multiply to $-1$:
- In words: flip the fraction and change the sign (the negative reciprocal 负倒数).
- Gradient $\dfrac{3}{2}$ → perpendicular gradient $-\dfrac{2}{3}$.
Parallel (cyan): same gradient. Perpendicular (rose + violet): gradients multiply to $-1$.
Droites perpendiculaires (Étendu)
- Deux droites sont perpendiculaires si elles se rencontrent à angle droit ($90°$).
- Le produit de leurs pentes est $-1$ :
- En mots : inverser la fraction et changer le signe (l'inverse négatif).
- Pente $\dfrac{3}{2}$ → pente perpendiculaire $-\dfrac{2}{3}$.
Parallèles (cyan) : même pente. Perpendiculaires (rose + violet) : les pentes se multiplient pour donner $-1$.
A line has gradient 3/2. The gradient of a line perpendicular to it is: · Une ligne a un gradient de 3/2. Le gradient d'une ligne perpendiculaire à celle-ci est :
Flip and change sign: perpendicular gradient = −1 ÷ (3/2) = −2/3. · Inversez et changez le signe : gradient perpendiculaire = −1 ÷ (3/2) = −2/3.
Two perpendicular lines have gradients that multiply to −1. · Deux lignes perpendiculaires ont des gradients qui multiplient à −1.
m₁ × m₂ = −1 is the defining property of perpendicular gradients. · m₁ × m₂ = −1 est la propriété définissante des gradients perpendiculaires.
If two lines are perpendicular, then m₁ × m₂ = ______. · Si deux lignes sont perpendiculaires, alors m₁ × m₂ = ______.
The product of perpendicular gradients is always −1. · Le produit des gradients perpendiculaires est toujours −1.
Worked example — perpendicular line
- Find the line perpendicular to $y = 2x + 3$ through $(4, 1)$.
- Original gradient $m_1 = 2$, so perpendicular gradient $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.
- Substitute: $1 = -\dfrac{1}{2}(4) + c \Rightarrow 1 = -2 + c \Rightarrow c = 3$.
- The perpendicular line is $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.
Don't forget both steps. The perpendicular gradient is flip AND change sign. Gradient $3$ → perpendicular $-\dfrac{1}{3}$ (not $\dfrac{1}{3}$, which would just be the reciprocal).
Exemple résolu — droite perpendiculaire
- Trouvez la droite perpendiculaire à $y = 2x + 3$ passant par $(4, 1)$.
- Pente originale $m_1 = 2$, donc pente perpendiculaire $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.
- Substituez : $1 = -\dfrac{1}{2}(4) + c \Rightarrow 1 = -2 + c \Rightarrow c = 3$.
- La droite perpendiculaire est $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.
N'oubliez pas les deux étapes. La pente perpendiculaire est inverser ET changer le signe. Pente $3$ → perpendiculaire $-\dfrac{1}{3}$ (pas $\dfrac{1}{3}$, qui serait juste le réciproque).
A line has gradient 5. What is the gradient of a line perpendicular to it? · Une ligne a un gradient de 5. Quel est le gradient d'une ligne perpendiculaire à celle-ci ?
Perpendicular gradient = −1/5 = −0.2. · Gradient perpendiculaire = −1/5 = −0.2.
Perpendicular bisector 垂直平分线 (Extended)
- The perpendicular bisector of a segment cuts it in half at a right angle.
- Method (three steps):
- 1. Find the midpoint of the segment.
- 2. Find the perpendicular gradient ($-\dfrac{1}{m}$).
- 3. Use the perpendicular gradient and the midpoint to write the equation.
Médiatrice (étendu)
- La médiatrice d'un segment le coupe en deux parties égales et perpendiculairement.
- Méthode (trois étapes) :
- 1. Trouver le milieu du segment.
- 2. Trouver la pente perpendiculaire ($-\dfrac{1}{m}$).
- 3. Utiliser la pente perpendiculaire et le milieu pour écrire l'équation.
Match each gradient pair (m₁, m₂) to the relationship between the lines. · Reliez chaque paire de gradients (m₁, m₂) à la relation entre les lignes.
2/3 × (−3/2) = −1 → perpendicular. 4 = 4 → parallel. 1 × (−1) = −1 → perpendicular. 5 × (−5) = −25 ≠ −1 and 5 ≠ −5 → neither. · 2/3 × (−3/2) = −1 → perpendiculaire. 4 = 4 → parallèle. 1 × (−1) = −1 → perpendiculaire. 5 × (−5) = −25 ≠ −1 et 5 ≠ −5 → ni l'un ni l'autre.
Put the steps for finding the perpendicular bisector of (0, 0) and (6, 2) in order. · Placez les étapes pour trouver la médiatrice de (0, 0) et (6, 2) dans l'ordre.
First find the midpoint, then the segment gradient, then flip-and-sign for the perpendicular gradient, then substitute into y = mx + c. · D'abord trouvez le milieu, puis le gradient du segment, ensuite inversez-et-signez pour le gradient perpendiculaire, puis substituez dans y = mx + c.
City planners and gradient rules
- Manhattan's grid was planned in 1811 with avenues running north-south and streets east-west — all perpendicular.
- In contrast, old European cities have streets that meet at every angle — no gradient rule at all.
- Engineers use perpendicular gradients to design road junctions, railway crossings, and building foundations.
Planificateurs urbains et règles de pente
- Le quadrillage de Manhattan a été planifié en 1811 avec des avenues nord-sud et des rues est-ouest — toutes perpendiculaires.
- En revanche, les vieilles villes européennes ont des rues qui se croisent sous tous les angles — aucune règle de pente.
- Les ingénieurs utilisent des pentes perpendiculaires pour concevoir des carrefours routiers, des traversées ferroviaires et des fondations de bâtiments.
You've got it
- parallel → same gradient ($m_1 = m_2$)
- perpendicular → gradients multiply to $-1$ ($m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$, "flip and change sign")
- perpendicular bisector = perpendicular gradient through the midpoint
- parallel to $y = 4x - 1$ through $(1, -3)$ → $y = 4x - 7$
Vous avez compris
- parallèle → même pente ($m_1 = m_2$)
- perpendiculaire → produit des pentes = $-1$ ($m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$, "inverser et changer de signe")
- médiatrice = pente perpendiculaire passant par le milieu
- parallèle à $y = 4x - 1$ passant par $(1, -3)$ → $y = 4x - 7$