Gauss's Law · Loi de Gauss
| English | Français |
|---|---|
| Gauss's law/ˈɡaʊsɪz lɔː/ | Loi de Gauss |
| permittivity/ˌpɜːmɪˈtɪvəti/ | permittivité |
| Gaussian surface/ˈɡaʊʃn ˈsɜːfɪs/ | surface gaussienne |
Turn a nasty integral into one line
- Finding $E$ from a big charged object by integrating is hard work.
- Gauss's law 高斯定律 offers a shortcut — when the shape is symmetric.
- It links the flux through a closed surface to the charge trapped inside.
- With the right surface, you read $E$ off in a single step.
Transformez une intégrale ingérable en une seule ligne
- Trouver $E$ d'un grand objet chargé par intégration est un dur labeur.
- La loi de Gauss 高斯定律 offre un raccourci — lorsque la forme est symétrique.
- Elle relie le flux à travers une surface fermée à la charge piégée à l'intérieur.
- Avec la bonne surface, vous lisez $E$ en une seule étape.
The law itself
- For any closed surface: $\oint \vec E \cdot d\vec A = \dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$.
- The left side is the total flux; the right is the enclosed charge over $\varepsilon_0$.
- $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}$ is the permittivity 介电常数 of free space.
- Only charge inside the surface counts.
La loi elle-même
- Pour toute surface fermée : $\oint \vec E \cdot d\vec A = \dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$.
- Le côté gauche est le flux total ; le côté droit est la charge enfermée divisée par $\varepsilon_0$.
- $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}$ est la permittivité 介电常数 du vide.
- Seule la charge à l'intérieur de la surface compte.
Flux from a charge · Flux provenant d'une charge
Watch the field lines from a charge spread out and cross any surface around it. · Observez comment les lignes de champ d'une charge s'étalent et traversent toute surface autour d'elle.
In Gauss's law, the flux through a closed surface equals: · Dans la loi de Gauss, le flux à travers une surface fermée est égal à :
$\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$.
Outside charge cancels
- A charge outside the surface sends as much flux in as out.
- So its net contribution to the closed-surface flux is zero.
- This is why only $Q_{\text{enc}}$ appears on the right.
- The field on the surface still feels outside charge — but the flux doesn't.
La charge extérieure s'annule
- Une charge à l'extérieur de la surface envoie autant de flux entrant que sortant.
- Sa contribution nette au flux de la surface fermée est donc nulle.
- C'est pourquoi seul $Q_{\text{enc}}$ apparaît à droite.
- Le champ à la surface ressent toujours la charge extérieure — mais le flux non.
A charge outside a closed surface adds zero net flux through it. · Une charge située à l'extérieur d'une surface fermée ajoute un flux net nul à travers celle-ci.
Outside charge sends in as much flux as it takes out — net zero. · Une charge extérieure envoie autant de flux qu'elle en retire — net zéro.
A surface encloses $+6\ \text{nC}$ and · et $-2\ \text{nC}$. What net charge (in nC) sets its flux? · Une surface encercle $+6\ \text{nC}$ et $-2\ \text{nC}$. Quelle charge nette (en nC) fixe son flux ?
Only enclosed charge counts: $6 + (-2) = 4\ \text{nC}$. · Seule la charge encerclée compte : $6 + (-2) = 4\ \text{nC}$.
Pick a surface that matches the symmetry
- Sphere of charge → use a spherical Gaussian surface 高斯面.
- Line of charge → use a coaxial cylinder.
- Plane of charge → use a box (pillbox) through it.
- Choose it so $E$ is constant and either along or across each patch.
Choisissez une surface qui correspond à la symétrie
- Sphère de charge → utilisez une surface gaussienne sphérique 高斯面.
- Ligne de charge → utilisez un cylindre coaxial.
- Plan de charge → utilisez une boîte (pilule/pillbox) le traversant.
- Choisissez-la de sorte que $E$ soit constant et aligné ou perpendiculaire à chaque patch.
The imaginary closed surface you integrate over is called a ____ surface. · La surface fermée imaginaire sur laquelle vous intégrez est appelée une surface ____.
It is a Gaussian surface, chosen to match the symmetry. · C'est une surface gaussienne, choisie pour correspondre à la symétrie.
Select all · tout true statements about Gauss's law. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant la loi de Gauss.
Always true, best with symmetry, driven by enclosed charge — over a closed surface. · Toujours vraie, meilleure avec la symétrie, pilotée par la charge encerclée — sur une surface fermée.
Powerful results, fast
- Outside a charged sphere: $E = \dfrac{kQ}{r^2}$ — exactly like a point charge.
- Around an infinite line: $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$.
- Near an infinite plane: $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (constant).
- Each drops out of Gauss's law in a couple of lines.
Résultats puissants, rapides
- À l'extérieur d'une sphère chargée : $E = \dfrac{kQ}{r^2}$ — exactement comme une charge ponctuelle.
- Autour d'une ligne infinie : $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$.
- Près d'un plan infini : $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (constant).
- Chacun tombe de la loi de Gauss en quelques lignes.
Outside a uniformly charged sphere of charge $Q$, the field is: · À l'extérieur d'une sphère uniformément chargée de charge $Q$, le champ est :
Gauss's law gives $E = kQ/r^2$ outside — identical to a point charge. · La loi de Gauss donne $E = kQ/r^2$ à l'extérieur — identique à celui d'une charge ponctuelle.
Find $E$ a distance $r$ outside a sphere holding charge $Q$.
- A spherical Gaussian surface gives $\oint E\,dA = E(4\pi r^2)$.
- Set it equal to $Q/\varepsilon_0$: $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \dfrac{kQ}{r^2}$.
Trouvez $E$ à une distance $r$ à l'extérieur d'une sphère portant une charge $Q$.
- Une surface gaussienne sphérique donne $\oint E\,dA = E(4\pi r^2)$.
- Égalisez-le à $Q/\varepsilon_0$ : $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \dfrac{kQ}{r^2}$.
Gauss's law is always true, but only useful when symmetry makes $E$ constant on your surface. For a lopsided charge you can still write $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$, but you can't pull $E$ out of the integral.
La loi de Gauss est toujours vraie, mais utile seulement quand la symétrie rend $E$ constant sur votre surface. Pour une charge asymétrique, vous pouvez encore écrire $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$, mais vous ne pouvez pas sortir $E$ de l'intégrale.
Gauss's law says $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$ — flux through a closed surface depends only on the enclosed charge. Choose a Gaussian surface matching the symmetry (sphere, cylinder, plane) to read $E$ off in one step.
La loi de Gauss dit $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$ — le flux à travers une surface fermée dépend uniquement de la charge enclose. Choisissez une surface gaussienne correspondant à la symétrie (sphère, cylindre, plan) pour lire $E$ en une étape.