Finding Taylor Polynomial Approximations of Functions · Approximation de fonctions par des polynômes de Taylor
| English | Français |
|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polynôme de Taylor |
| Maclaurin polynomial/məˈklɔːrɪn ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polynôme de Maclaurin |
Approximating a function with a polynomial
- Linearization (Unit 4) used a tangent line to approximate a function. Why stop at a line?
- A Taylor polynomial 泰勒多项式 matches a function's value and several derivatives at a point.
- The more derivatives it matches, the better it hugs the curve nearby.
- Polynomials are easy to compute, so they're a powerful stand-in for messy functions.
Approcher une fonction avec un polynôme
- La linéarisation (Unité 4) utilisait une tangente pour approcher une fonction. Pourquoi s'arrêter à une ligne ?
- Un polynôme de Taylor 泰勒多项式 correspond à la valeur de la fonction et plusieurs dérivées en un point.
- Plus elle correspond de dérivées, mieux elle épouse la courbe à proximité.
- Les polynômes sont faciles à calculer, donc ce sont de puissants substituts pour les fonctions complexes.
Building the polynomial
- Centered at $x=a$, the $n$th-degree Taylor polynomial is:
-
$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$$
- Each term uses the $k$th derivative at $a$, divided by $k!$, times $(x-a)^k$.
- The degree-$1$ piece is exactly the linearization; higher terms add curvature.
Construire le polynôme
- Centré en $x=a$, le polynôme de Taylor de degré $n$ est:
-
$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$$
- Chaque terme utilise la $k$ième dérivée à $a$, divisée par $k!$, multipliée par $(x-a)^k$.
- La pièce de degré $1$ est exactement la linéarisation ; les termes supérieurs ajoutent la courbure.
The · Le $k$th term of a Taylor polynomial centered at $a$ is... · Le terme $k$ d'un polynôme de Taylor centré en $a$ est...
Derivative at $a$, over $k!$, times $(x-a)^k$. · Dérivée en $a$, divisée par $k!$, multipliée par $(x-a)^k$.
Every derivative in a Taylor polynomial is evaluated at the ____ $a$. · Chaque dérivée dans un polynôme de Taylor est évaluée au ____ $a$.
Use $f^{(k)}(a)$, not $f^{(k)}(x)$. · Utilisez $f^{(k)}(a)$, pas $f^{(k)}(x)$.
Maclaurin: centered at zero
- A Maclaurin polynomial 麦克劳林多项式 is just a Taylor polynomial centered at $a=0$.
- $P_n(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$ — the $(x-a)$ factors become plain $x^k$.
- Common ones are worth memorizing: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ have clean Maclaurin polynomials.
- Same recipe, centered at the origin.
Maclaurin : centré à zéro
- Un polynôme de Maclaurin 麦克劳林多项式 est simplement un polynôme de Taylor centré en $a=0$.
- $P_n(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$ — les $(x-a)$ facteurs deviennent de simples $x^k$.
- Les plus courantes valent la peine d'être mémorisées : $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ ont de propres polynômes de Maclaurin.
- Même recette, centrée à l'origine.
A Maclaurin polynomial is a Taylor polynomial centered at... · Un polynôme de Maclaurin est un polynôme de Taylor centré en...
Maclaurin = centered at $0$. · Maclaurin = centré en $0$.
Better near the center
- The approximation is best near $x=a$ and gets worse as you move away.
- Adding more terms (higher degree) improves accuracy on a wider range.
- Match value, slope, concavity, and beyond — each derivative pins down one more feature.
- The tangent line is just the first two terms of this bigger idea.
Mieux près du centre
- L'approximation est meilleure près de $x=a$ et s'aggrave à mesure que vous vous éloignez.
- Ajouter plus de termes (degré supérieur) améliore la précision sur un intervalle plus large.
- Correspondre la valeur, la pente, la concavité, etc. — chaque dérivée fixe une caractéristique de plus.
- La tangente n'est que les deux premiers termes de cette idée plus vaste.
A polynomial hugging eˣ · Un polynôme qui épouse eˣ
y = a·e^{bx}
The degree-2 Maclaurin polynomial $1+x+\tfrac{x^2}{2}$ hugs $e^x$ near $0$ — more terms widen the good range. · Le polynôme de Maclaurin de degré 2 $1+x+\tfrac{x^2}{2}$ épouse $e^x$ près de $0$ — plus de termes élargissent la bonne plage.
The degree-2 Maclaurin polynomial for $e^x$ is... · Le polynôme de Maclaurin de degré 2 pour $e^x$ est...
All derivatives of $e^x$ at $0$ are $1$. · Toutes les dérivées de $e^x$ en $0$ sont $1$.
The Taylor term divides the $k$th derivative by $k!$ (a factorial). · Le terme de Taylor divise la $k$th dérivée par $k!$ (une factorielle).
Divide by $k!$, not $k$. · Divisez par $k!$, pas $k$.
A Taylor polynomial approximation is most accurate... · Une approximation par polynôme de Taylor est la plus précise...
Accuracy is best near $a$ and improves with more terms. · La précision est meilleure près de $a$ et s'améliore avec plus de termes.
Don't drop the factorials: the $k$th term is $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — divide by $k!$, not just $k$. Evaluate every derivative at the center $a$ (not at $x$). And the approximation is only good near $a$; far away, a truncated Taylor polynomial can be wildly off.
Ne jetez pas les factorielles : le $k$e terme est $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — divisez par $k!$, pas juste $k$. Évaluez chaque dérivée au centre $a$ (pas en $x$). Et l'approximation n'est bonne que près de $a$ ; loin de là, un polynôme de Taylor tronqué peut être complètement faux.
Find the degree-$2$ Maclaurin polynomial for $f(x)=e^x$.
- $f(0)=1$, $f'(0)=1$, $f''(0)=1$ (since every derivative of $e^x$ is $e^x$).
- $P_2(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2=1+x+\frac{x^2}{2}$.
- Near $0$, $e^x\approx 1+x+\tfrac{x^2}{2}$ (e.g. $e^{0.1}\approx1.105$). ✓
Trouvez le polynôme de Maclaurin de degré $2$ pour $f(x)=e^x$.
- $f(0)=1$, $f'(0)=1$, $f''(0)=1$ (puisque toute dérivée de $e^x$ est $e^x$).
- $P_2(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2=1+x+\frac{x^2}{2}$.
- Près de $0$, $e^x\approx 1+x+\tfrac{x^2}{2}$ (ex. : $e^{0.1}\approx1.105$). ✓
A Taylor polynomial centered at $a$ is $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — matching the function's value and derivatives at $a$. A Maclaurin polynomial is the special case $a=0$. Keep the factorials, evaluate derivatives at $a$, and expect the best accuracy near the center.
Un polynôme de Taylor centré en $a$ est $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — correspondant à la valeur de la fonction et ses dérivées en $a$. Un polynôme de Maclaurin est le cas particulier $a=0$. Gardez les factorielles, évaluez les dérivées en $a$, et attendez la meilleure précision près du centre.