Lagrange Error Bound · Borne d'erreur de Lagrange
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| Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/ | borne d'erreur de Lagrange |
Bounding a Taylor polynomial's error
- A Taylor polynomial is only an approximation. How wrong can it be?
- The Lagrange error bound 拉格朗日误差界 gives a guaranteed ceiling on the remainder.
- It uses the next derivative — the first one the polynomial didn't match.
- With it, you can prove an approximation is accurate to a required tolerance.
Borne l'erreur d'un polynôme de Taylor
- Un polynôme de Taylor n'est qu'une approximation. À quel point peut-il se tromper ?
- La borne d'erreur de Lagrange 拉格朗日误差界 donne un plafond garanti pour le reste.
- Elle utilise la prochaine dérivée — la première que le polynôme n'a pas correspondue.
- Avec elle, vous pouvez prouver qu'une approximation est précise jusqu'à une tolérance requise.
The bound
- The error of the degree-$n$ Taylor polynomial $P_n$ at $x$ satisfies:
-
$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}\,\big|x-a\big|^{\,n+1}$$
- Here $M$ is a maximum of $\big|f^{(n+1)}\big|$ on the interval between $a$ and $x$.
- It looks like the next Taylor term, but with the derivative replaced by its worst-case size $M$.
La borne
- L'erreur du polynôme de Taylor de degré $n$ $P_n$ en $x$ satisfait:
-
$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}\,\big|x-a\big|^{\,n+1}$$
- Ici $M$ est un maximum de $\big|f^{(n+1)}\big|$ sur l'intervalle entre $a$ et $x$.
- Ça ressemble au terme de Taylor suivant, mais avec la dérivée remplacée par sa pire valeur ⟨$M$⟩.
The gap the bound caps · L'écart que la borne limite
y = a·e^{bx}
The Lagrange bound caps the gap between $e^x$ and its Taylor polynomial using the next derivative's maximum $M$. · La borne de Lagrange limite l'écart entre $e^x$ et son polynôme de Taylor en utilisant le maximum de la dérivée suivante $M$.
The Lagrange error bound is $|R_n(x)|\le$ · La borne d'erreur de Lagrange est $|R_n(x)|\le$
Uses the $(n+1)$th derivative bound and $(n+1)!$. · Utilise la borne de la $(n+1)$th dérivée et $(n+1)!$.
Finding the pieces
- $(n+1)$: one more than the polynomial's degree — the first missing term's order.
- $M$: a bound on the $(n+1)$th derivative's absolute value between $a$ and $x$ (use the biggest it gets).
- $|x-a|^{n+1}$: the distance from the center, raised to that power.
- Multiply, divide by $(n+1)!$, and you have a guaranteed error ceiling.
Trouver les pièces
- $(n+1)$: un de plus que le degré du polynôme — l'ordre du premier terme manquant.
- $M$: une borne sur la valeur absolue de la $(n+1)$e dérivée entre $a$ et $x$ (utilisez le plus grand qu'elle atteint).
- $|x-a|^{n+1}$: la distance depuis le centre, élevée à cette puissance.
- Multipliez, divisez par $(n+1)!$, et vous avez un plafond d'erreur garanti.
For a degree-$n$ polynomial, $M$ bounds which derivative? · Pour un polynôme de degré $n$, $M$ borne quelle dérivée ?
One past the degree: the $(n+1)$th derivative. · Un cran au-dessus du degré : la $(n+1)$th dérivée.
In the bound, $M$ is... · Dans la borne, $M$ est...
A worst-case bound on the next derivative. · Une borne du cas le plus défavorable pour la dérivée suivante.
Proving accuracy
- To show $P_n$ is within, say, $0.001$: compute the Lagrange bound and check it's $\le 0.001$.
- Because the bound overestimates the true error, if the bound is small, the real error is smaller.
- Larger $n$ shrinks the bound (bigger factorial, more accuracy).
- It's the rigorous companion to Taylor approximation.
Prouver la précision
- Pour montrer que $P_n$ est dans, disons, $0.001$: calculez la borne de Lagrange et vérifiez qu'elle est $\le 0.001$.
- Comme la borne surestime l'erreur réelle, si la borne est petite, l'erreur réelle est encore plus petite.
- Une valeur plus grande de $n$ réduit la borne (factorielle plus grande, précision accrue).
- C'est le compagnon rigoureux de l'approximation de Taylor.
With $M=1.2$, $n=2$, $x=0.1$, $a=0$: $\dfrac{1.2}{3!}(0.1)^3=$ ? (a decimal) · Avec $M=1.2$, $n=2$, $x=0.1$, $a=0$ : $\dfrac{1.2}{3!}(0.1)^3=$ ? (un décimal)
$\frac{1.2}{6}\cdot0.001=0.0002$.
The Lagrange bound is a guaranteed ceiling, usually larger than the actual error. · La borne de Lagrange est un plafond garanti, généralement supérieur à l'erreur réelle.
If the bound is small, the true error is smaller. · Si la borne est petite, l'erreur réelle est plus petite.
Increasing the degree $n$ generally makes the error bound... · Augmenter le degré $n$ rend généralement la borne d'erreur...
A bigger factorial shrinks the bound → more accuracy. · Une factorielle plus grande réduit la borne → plus de précision.
Use the $(n+1)$th derivative and the factorial $(n+1)!$ — one past the polynomial's degree, not $n$. $M$ is the maximum of $|f^{(n+1)}|$ on the interval between $a$ and $x$ (a worst-case bound, so pick a value you can justify is large enough). The bound is a guarantee, usually larger than the actual error.
Utilisez la dérivée $(n+1)$ et la factorielle $(n+1)!$ — une d'ordre supérieur au degré du polynôme, pas $n$. $M$ est le maximum de $|f^{(n+1)}|$ sur l'intervalle entre $a$ et $x$ (une borne du pire cas, choisissez donc une valeur que vous pouvez justifier comme étant assez grande). La borne est une garantie, généralement supérieure à l'erreur réelle.
Bound the error of the degree-$2$ Maclaurin polynomial for $e^x$ at $x=0.1$.
- Next derivative: $f'''(x)=e^x$; on $[0,0.1]$, $M=e^{0.1}\le 1.2$.
- $|R_2(0.1)|\le \dfrac{1.2}{3!}\,(0.1)^3=\dfrac{1.2}{6}(0.001)=0.0002$.
- So $1+0.1+\tfrac{0.01}{2}=1.105$ is within $0.0002$ of $e^{0.1}$. ✓
Bornez l'erreur du polynôme de Maclaurin de degré-$2$ pour $e^x$ en $x=0.1$.
- Dérivée suivante : $f'''(x)=e^x$ ; sur $[0,0.1]$, $M=e^{0.1}\le 1.2$.
- $|R_2(0.1)|\le \dfrac{1.2}{3!}\,(0.1)^3=\dfrac{1.2}{6}(0.001)=0.0002$.
- Donc $1+0.1+\tfrac{0.01}{2}=1.105$ est à moins de $0.0002$ de $e^{0.1}$. ✓
The Lagrange error bound: $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$, where $M$ bounds the $(n+1)$th derivative on the interval between $a$ and $x$. It's the next Taylor term with the derivative replaced by its max — a guaranteed error ceiling for proving an approximation meets a tolerance.
La borne d'erreur de Lagrange : $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$, où $M$ borne la dérivée $(n+1)$ sur l'intervalle entre $a$ et $x$. C'est le terme suivant de Taylor avec la dérivée remplacée par son maximum — un plafond d'erreur garanti pour prouver qu'une approximation respecte une tolérance.