Defining Polar Coordinates and Differentiating in Polar Form · Définir les coordonnées polaires et dériver en forme polaire
| English | Français |
|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | cartésien |
| Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | Coordonnées polaires |
Locating points by angle and distance
- Cartesian coordinates use "right $x$, up $y$." Polar coordinates 极坐标 use "angle and distance."
- A point is $(r,\theta)$: $r$ is how far from the origin, $\theta$ is the angle from the positive $x$-axis.
- Circles and spirals that are ugly in $x,y$ become simple in polar form.
- Curves are written $r=f(\theta)$ — radius as a function of angle.
Localiser des points par angle et distance
- Les coordonnées cartésiennes utilisent "droite $x$, haut $y$." Les coordonnées polaires 极坐标 utilisent "angle et distance."
- Un point est $(r,\theta)$ : $r$ est la distance à l'origine, $\theta$ est l'angle depuis l'axe $x$ positif.
- Les cercles et spirales qui sont laid en $x,y$ deviennent simples en forme polaire.
- Les courbes s'écrivent $r=f(\theta)$ — rayon en fonction de l'angle.
Converting polar ⇄ Cartesian
- Polar to Cartesian 直角坐标: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
- Cartesian to polar: $r=\sqrt{x^2+y^2}$ and $\tan\theta=\tfrac{y}{x}$.
- These come straight from right-triangle trig on the point.
- Switch whichever way makes the problem easier.
Conversion polaire ⇄ cartésienne
- Polaire vers cartésien 直角坐标 : $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
- Cartésien vers polaire : $r=\sqrt{x^2+y^2}$ et $\tan\theta=\tfrac{y}{x}$.
- Elles viennent directement de la trigonométrie du triangle rectangle sur le point.
- Changez dans le sens qui rend le problème plus facile.
Sine and cosine build polar · Sinus et cosinus construisent le polaire
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ — polar coordinates are built from these two trig functions of the angle. · $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ — les coordonnées polaires sont construites à partir de ces deux fonctions trigonométriques de l'angle.
The conversion from polar to Cartesian is... · La conversion du polaire au cartésien est...
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
To convert Cartesian to polar, $r=\sqrt{x^2+\ \_\_\_\ }$. · Pour convertir du cartésien au polaire, $r=\sqrt{x^2+\ \_\_\_\ }$.
$r=\sqrt{x^2+y^2}$.
A polar curve is secretly parametric
- Treat $r=f(\theta)$ as a parametric curve with $\theta$ as the parameter:
- $x=f(\theta)\cos\theta$ and $y=f(\theta)\sin\theta$.
- Now all the parametric machinery applies — including the slope $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.
- So "differentiating in polar" just means parametric differentiation with these $x,y$.
Une courbe polaire est secrètement paramétrique
- Traitez $r=f(\theta)$ comme une courbe paramétrique avec $\theta$ comme paramètre :
- $x=f(\theta)\cos\theta$ et $y=f(\theta)\sin\theta$.
- Maintenant toute la machinerie paramétrique s'applique — y compris la pente $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.
- Donc "dériver en polaire" signifie simplement dérivation paramétrique avec ces $x,y$.
Convert $(2,\tfrac{\pi}{3})$: find the $x$-coordinate. · Convertissez $(2,\tfrac{\pi}{3})$ : trouvez la coordonnée $x$.
$2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
A polar curve $r=f(\theta)$ can be treated as a parametric curve with parameter... · Une courbe polaire $r=f(\theta)$ peut être traitée comme une courbe paramétrique avec paramètre...
$x=f(\theta)\cos\theta$, $y=f(\theta)\sin\theta$ with parameter $\theta$. · $x=f(\theta)\cos\theta$, $y=f(\theta)\sin\theta$ avec paramètre $\theta$.
Finding the slope $\tfrac{dy}{dx}$
- Compute $\tfrac{dx}{d\theta}$ and $\tfrac{dy}{d\theta}$ from the product/chain rule on $f(\theta)\cos\theta$ and $f(\theta)\sin\theta$.
- Then $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — the ordinary parametric slope.
- Warning: $\tfrac{dy}{dx}$ is not $\tfrac{dr}{d\theta}$; the slope needs the full $x,y$ derivatives.
- The parameter is $\theta$, so differentiate the $x,y$ expressions with respect to $\theta$.
Trouver la pente $\tfrac{dy}{dx}$
- Calculez $\tfrac{dx}{d\theta}$ et $\tfrac{dy}{d\theta}$ à partir de la règle du produit/chaîne sur $f(\theta)\cos\theta$ et $f(\theta)\sin\theta$.
- Then $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — la pente paramétrique ordinaire.
- Avertissement : $\tfrac{dy}{dx}$ n'est pas $\tfrac{dr}{d\theta}$ ; la pente nécessite les dérivées complètes $x,y$.
- Le paramètre est $\theta$, donc dérivez les expressions $x,y$ par rapport à $\theta$.
The slope $\tfrac{dy}{dx}$ of a polar curve equals $\tfrac{dr}{d\theta}$. · La pente $\tfrac{dy}{dx}$ d'une courbe polaire est égale à $\tfrac{dr}{d\theta}$.
Slope is $\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, using $x,y$ derivatives. · La pente est $\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, en utilisant les dérivées $x,y$.
The polar coordinates $(r,\theta)$ and · et $(r,\theta+2\pi)$ describe the same point. · Les coordonnées polaires $(r,\theta)$ et $(r,\theta+2\pi)$ décrivent le même point.
Adding a full turn returns to the same point. · Ajouter un tour complet ramène au même point.
The slope of a polar curve is $\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, not $\dfrac{dr}{d\theta}$. You must convert to $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ first and differentiate those (product rule!) with respect to $\theta$. And a point's polar coordinates aren't unique — $(r,\theta)$ and $(r,\theta+2\pi)$ are the same point.
La pente d'une courbe polaire est $\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, pas $\dfrac{dr}{d\theta}$. Vous devez convertir en $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ d'abord et dériver celles-ci (règle du produit !) par rapport à $\theta$. Et les coordonnées polaires d'un point ne sont pas uniques — $(r,\theta)$ et $(r,\theta+2\pi)$ sont le même point.
Convert the polar point $\big(2,\tfrac{\pi}{3}\big)$ to Cartesian.
- $x=r\cos\theta=2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
- $y=r\sin\theta=2\sin\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$.
- So the point is $\big(1,\sqrt3\big)$.
Convertez le point polaire $\big(2,\tfrac{\pi}{3}\big)$ en cartésien.
- $x=r\cos\theta=2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
- $y=r\sin\theta=2\sin\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$.
- Donc le point est $\big(1,\sqrt3\big)$.
Polar coordinates $(r,\theta)$ give a point by distance and angle. Convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ (and back via $r=\sqrt{x^2+y^2}$). A polar curve $r=f(\theta)$ is a parametric curve in $\theta$, so its slope is $\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — not $\frac{dr}{d\theta}$.
Coordonnées polaires $(r,\theta)$ donnent un point par distance et angle. Convertissez avec $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ (et inverse via $r=\sqrt{x^2+y^2}$). Une courbe polaire $r=f(\theta)$ est une courbe paramétrique en $\theta$, donc sa pente est $\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — pas $\frac{dr}{d\theta}$.