Second Derivatives of Parametric Equations · Dérivées secondes des équations paramétriques
The second derivative of a parametric curve
- We found $\tfrac{dy}{dx}$ for a parametric curve. Now: how curved is it? That needs $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- The catch: you can't just divide the second derivatives in $t$.
- Instead, differentiate the first slope $\tfrac{dy}{dx}$ with respect to $t$, then divide by $\tfrac{dx}{dt}$ again.
- It's the parametric slope rule, applied a second time to $\tfrac{dy}{dx}$.
La dérivée seconde d'une courbe paramétrique
- Nous avons trouvé $\tfrac{dy}{dx}$ pour une courbe paramétrique. Maintenant : quelle est sa courbure ? Cela nécessite $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- Le piège : vous ne pouvez pas simplement diviser les dérivées secondes dans $t$.
- Au contraire, dérivez la première pente $\tfrac{dy}{dx}$ par rapport à $t$, puis divisez encore par $\tfrac{dx}{dt}$.
- C'est la règle de la pente paramétrique, appliquée une deuxième fois à $\tfrac{dy}{dx}$.
The correct formula
- Treat the first derivative $\tfrac{dy}{dx}$ as a new function of $t$, and take its parametric slope:
-
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}$$
- Differentiate $\tfrac{dy}{dx}$ with respect to $t$, then divide by $\tfrac{dx}{dt}$ (same denominator as before).
- The concavity's sign comes from this, just like an ordinary $f''$.
La formule correcte
- Traitez la première dérivée $\tfrac{dy}{dx}$ comme une nouvelle fonction de $t$, et prenez sa pente paramétrique :
-
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}$$
- Dérivez $\tfrac{dy}{dx}$ par rapport à $t$, puis divisez par $\tfrac{dx}{dt}$ (même dénominateur qu'avant).
- Le signe de la concavité vient de ceci, tout comme pour une ordinaire $f''$.
Concavity of a parametric curve · Concavité d'une courbe paramétrique
y = ax³ + bx
The parametric second derivative tells concavity — computed by differentiating $\tfrac{dy}{dx}$ in $t$, then dividing by $\tfrac{dx}{dt}$. · La dérivée seconde paramétrique indique la concavité — calculée en dérivant $\tfrac{dy}{dx}$ par rapport à $t$, puis en divisant par $\tfrac{dx}{dt}$.
The parametric second derivative $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ equals... · La dérivée seconde paramétrique $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ est égale à...
Differentiate $\tfrac{dy}{dx}$ in $t$, then divide by $\tfrac{dx}{dt}$. · Dérivez $\tfrac{dy}{dx}$ par rapport à $t$, puis divisez par $\tfrac{dx}{dt}$.
Order the steps to find the parametric second derivative. · Ordonnez les étapes pour trouver la dérivée seconde paramétrique.
Slope, differentiate in $t$, divide by $\tfrac{dx}{dt}$. · Pente, dérivez dans $t$, divisez par $\tfrac{dx}{dt}$.
Why it isn't the obvious ratio
- It is not $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$ — that shortcut is wrong.
- $\tfrac{dy}{dx}$ is already a quotient of $t$-derivatives, so differentiating it needs the quotient rule (in $t$), not a naive second-derivative ratio.
- The right process always goes through $\tfrac{d}{dt}\big(\tfrac{dy}{dx}\big)$ first.
- Skipping that gives the classic wrong answer.
Pourquoi ce n'est pas le ratio évident
- Ce n'est pas $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$ — ce raccourci est faux.
- $\tfrac{dy}{dx}$ est déjà un quotient de dérivées de $t$, donc le dériver nécessite la règle du quotient (dans $t$), pas un ratio naïf de dérivées secondes.
- Le bon processus passe toujours par $\tfrac{d}{dt}\big(\tfrac{dy}{dx}\big)$ d'abord.
- Omettre cette étape donne la réponse classique erronée.
The parametric second derivative equals $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. · La dérivée seconde paramétrique est égale à $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$.
That naive ratio is wrong. · Ce rapport naïf est faux.
The two-step routine
- 1. Find $\tfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ and simplify.
- 2. Differentiate that with respect to $t$, then divide by $\tfrac{dx}{dt}$.
- Concave up where $\tfrac{d^2y}{dx^2}>0$, concave down where $<0$ — same as always.
- Keep the same denominator $\tfrac{dx}{dt}$ in both steps.
La procédure en deux étapes
- 1. Trouver $\tfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ et simplifier.
- 2. Dériver cela par rapport à $t$, puis diviser par $\tfrac{dx}{dt}$.
- Concave vers le haut où $\tfrac{d^2y}{dx^2}>0$, concave vers le bas où $<0$ — comme toujours.
- Gardez le même dénominateur $\tfrac{dx}{dt}$ dans les deux étapes.
For · Pour $x=t^2$, $y=t^3$ ($\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{3t}{2}$), $\dfrac{d^2y}{dx^2}=$ · Pour $x=t^2$, $y=t^3$ ($\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{3t}{2}$), $\dfrac{d^2y}{dx^2}=$
$\frac{d}{dt}(\tfrac{3t}{2})=\tfrac32$; divide by $2t$: $\tfrac{3}{4t}$. · $\frac{d}{dt}(\tfrac{3t}{2})=\tfrac32$ ; divisez par $2t$ : $\tfrac{3}{4t}$.
After differentiating $\tfrac{dy}{dx}$ in $t$, you divide by $\dfrac{dx}{dt}$, the ____ denominator as the first derivative. · Après avoir dérivé $\tfrac{dy}{dx}$ par rapport à $t$, vous divisez par $\dfrac{dx}{dt}$, le ____ dénominateur comme pour la première dérivée.
Both steps divide by $\tfrac{dx}{dt}$. · Les deux étapes divisent par $\tfrac{dx}{dt}$.
The sign of the parametric second derivative tells you the curve's... · Le signe de la dérivée seconde paramétrique vous indique la ...
Positive → concave up, negative → concave down. · Positif → concave vers le haut, négatif → concave vers le bas.
The second derivative is not $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. You must differentiate the first derivative $\tfrac{dy}{dx}$ with respect to $t$ and then divide by $\tfrac{dx}{dt}$ again. Using the naive ratio of second derivatives is the single most common parametric mistake.
La dérivée seconde n'est pas $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Vous devez dériver la première dérivée $\tfrac{dy}{dx}$ par rapport à $t$, puis diviser encore par $\tfrac{dx}{dt}$. Utiliser le ratio naïf des dérivées secondes est l'erreur paramétrique la plus fréquente.
For $x=t^2,\ y=t^3$ (so $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{3t}{2}$), find $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- $\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{3t}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$.
- Divide by $\dfrac{dx}{dt}=2t$: $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{3/2}{2t}=\dfrac{3}{4t}$.
- (Not $\tfrac{6t}{2}=3t$, which the wrong ratio would give.)
Pour $x=t^2,\ y=t^3$ (donc $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{3t}{2}$), trouvez $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- $\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{3t}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$.
- Diviser par $\dfrac{dx}{dt}=2t$ : $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{3/2}{2t}=\dfrac{3}{4t}$.
- (Pas $\tfrac{6t}{2}=3t$, que donnerait le mauvais ratio.)
The parametric second derivative is $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$ — differentiate the first slope $\tfrac{dy}{dx}$ in $t$, then divide by $\tfrac{dx}{dt}$ again. It is not $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Its sign gives concavity as usual.
La seconde dérivée paramétrique est $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$ — dérivez la première pente $\tfrac{dy}{dx}$ par rapport à $t$, puis divisez par $\tfrac{dx}{dt}$ à nouveau. Ce n'est pas $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Son signe donne la concavité comme d'habitude.