Approximating Solutions Using Euler's Method · Approximation des solutions par la méthode d'Euler
| English | Français |
|---|---|
| Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/ | méthode d'Euler |
| step size/step saɪz/ | pas de temps |
Walking a solution one small step at a time
- Not every differential equation can be solved with a formula — but you can still approximate the solution numerically.
- Euler's method 欧拉法 follows the slope field in tiny straight steps from a starting point.
- At each point, use the differential equation to get the slope, then step forward along it.
- Repeat, and you trace an approximate solution curve.
Suivre une solution petit à petit
- Toutes les équations différentielles ne peuvent pas être résolues par une formule — mais vous pouvez encore approximer la solution numériquement.
- La méthode d'Euler 欧拉法 suit le champ de pentes en petits pas rectilignes à partir d'un point de départ.
- À chaque point, utilisez l'équation différentielle pour obtenir la pente, puis avancez le long de celle-ci.
- Répétez, et vous tracez une courbe de solution approximative.
The update rule
- Given $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ and a start $(x_0,y_0)$, take a fixed step size 步长 $h$:
-
$$y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),\qquad x_{n+1}=x_n+h$$
- The new $y$ = old $y$ + (slope there) × (step $h$).
- It's "current value plus slope times step" — a tangent-line jump.
La règle de mise à jour
- Étant donnés $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ et un point de départ $(x_0,y_0)$, prenez une taille de pas 步长 fixe $h$ :
-
$$y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),\qquad x_{n+1}=x_n+h$$
- La nouvelle $y$ = ancienne $y$ + (pente là-bas) × (pas $h$).
- C'est « valeur actuelle plus pente fois pas » — un saut tangentiel.
Stepping along the slope field · Marcher le long du champ de pentes
Euler's method takes short straight steps along the slope field — smaller steps hug the true curve better. · La méthode d'Euler effectue de petits segments droits le long du champ de pentes — de meilleurs pas épousent mieux la vraie courbe.
Euler's update rule is $y_{n+1}=$ · La règle de mise à jour d'Euler est $y_{n+1}=$
Old $y$ plus slope times step. · Ancien $y$ plus pente fois pas.
The fixed increment $h$ used at each Euler step is called the ____ size. · L'incrémentation fixe $h$ utilisée à chaque pas d'Euler est appelée la ____ taille.
$x$ advances by the step size $h$ each iteration. · $x$ avance de la taille de pas $h$ à chaque itération.
Marching through a table
- Organize the work in a table: at each row, read $(x_n,y_n)$, compute the slope $f(x_n,y_n)$, then get $y_{n+1}$.
- Advance $x$ by $h$ each row and repeat until you reach the target $x$.
- Each step is just arithmetic; the differential equation supplies the slope.
- After a few rows you have an approximate $y$ at the target.
Marcher à travers un tableau
- Organisez le travail dans un tableau : à chaque ligne, lisez $(x_n,y_n)$, calculez la pente $f(x_n,y_n)$, puis obtenez $y_{n+1}$.
- Avancez $x$ de $h$ à chaque ligne et répétez jusqu'à atteindre la cible $x$.
- Chaque étape n'est que de l'arithmétique ; l'équation différentielle fournit la pente.
- Après quelques lignes, vous avez une approximation de $y$ à la cible.
For · Pour $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, $h=0.5$: the slope at $(0,1)$ is $1$. Find $y_1$. · Pour $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, $h=0.5$ : la pente à $(0,1)$ est $1$. Trouvez $y_1$.
$1+0.5(1)=1.5$.
Continuing ($y_1=1.5$ at $x=0.5$, slope $=2$), find $y(1)\approx y_2$. · Continuer ($y_1=1.5$ à $x=0.5$, pente $=2$), trouvez $y(1)\approx y_2$.
$1.5+0.5(2)=2.5$.
Accuracy and step size
- Euler's method is only an approximation — it follows straight tangents, so it drifts from the true curve.
- A smaller step size $h$ gives a more accurate estimate (but more steps).
- On a concave-up curve Euler tends to underestimate; concave-down, overestimate.
- More steps, less error — the classic accuracy trade-off.
Précision et taille de pas
- La méthode d'Euler n'est qu'une approximation — elle suit des tangentes droites, donc elle s'écarte de la vraie courbe.
- Une taille de pas plus petite $h$ donne une estimation plus précise (mais plus d'étapes).
- Sur une courbe convexe vers le bas (concave up), Euler a tendance à sous-estimer ; concave vers le bas, surestimer.
- Plus d'étapes, moins d'erreur — le compromis classique de précision.
Using a smaller step size $h$ generally makes Euler's estimate... · Utiliser une taille de pas plus petite $h$ rend généralement l'estimation d'Euler...
Smaller steps drift less from the true curve. · De meilleurs pas dévient moins de la vraie courbe.
You must recompute the slope at each new point, not reuse the initial slope. · Vous devez recalculer la pente à chaque nouveau point, pas réutiliser la pente initiale.
The slope $f(x_n,y_n)$ changes each step. · La pente $f(x_n,y_n)$ change à chaque étape.
Use the slope at the current point $(x_n,y_n)$ for each step, not a fixed slope. And each step updates both $x$ (by $h$) and $y$ (by $h\cdot f$). A common error is reusing the initial slope for every step — the slope must be recomputed at each new point.
Utilisez la pente au point actuel $(x_n,y_n)$ pour chaque étape, pas une pente fixe. Et chaque étape met à jour les deux $x$ (de $h$) et $y$ (de $h\cdot f$). Une erreur courante est de réutiliser la pente initiale pour toutes les étapes — la pente doit être recalculée à chaque nouveau point.
Approximate $y(1)$ for $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, with step $h=0.5$.
- Step 1: slope at $(0,1)$ is $0+1=1$; $y_1=1+0.5(1)=1.5$, $x_1=0.5$.
- Step 2: slope at $(0.5,1.5)$ is $0.5+1.5=2$; $y_2=1.5+0.5(2)=2.5$, $x_2=1$.
- So $y(1)\approx 2.5$.
Approximer $y(1)$ pour $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, avec un pas $h=0.5$.
- Étape 1 : pente à $(0,1)$ est $0+1=1$ ; $y_1=1+0.5(1)=1.5$, $x_1=0.5$.
- Étape 2 : pente à $(0.5,1.5)$ est $0.5+1.5=2$ ; $y_2=1.5+0.5(2)=2.5$, $x_2=1$.
- Donc $y(1)\approx 2.5$.
Euler's method approximates a differential equation's solution by stepping along tangents: $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$ with fixed step size $h$, recomputing the slope at each point. It's approximate (straight steps drift from the curve); a smaller $h$ improves accuracy.
La méthode d'Euler approxime la solution d'une équation différentielle en avançant le long des tangentes : $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$ avec une taille de pas fixe $h$, recalculant la pente à chaque point. C'est approximatif (des pas droits s'écartent de la courbe) ; une taille de pas plus petite $h$ améliore la précision.