Integrating Using Substitution · Intégration par substitution
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| u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | substitution u |
The chain rule, run in reverse
- The chain rule made derivatives of composite functions. Integration must undo it.
- u-substitution 换元法 (or u-sub) is the reverse of the chain rule.
- It spots a composite function together with its inner derivative and simplifies by renaming.
- Master it and a huge class of otherwise-impossible integrals becomes routine.
La règle de chaîne, à l'envers
- La règle de chaîne rendait les dérivées des fonctions composées. L'intégration doit l'annuler.
- Changement de variable 换元法 (ou u-sub) est l'inverse de la règle de chaîne.
- Elle repère une fonction composée avec sa dérivée interne et simplifie en renommant.
- Maîtrisez-la et une immense classe d'intégrales autrement impossibles deviendront banales.
u-substitution is the reverse of which differentiation rule? · La substitution u est l'inverse de quelle règle de différentiation ?
It undoes the chain rule. · Elle annule la règle de la chaîne.
Rename the inner function as $u$
- Look for an inner function $g(x)$ whose derivative $g'(x)$ also appears (up to a constant) in the integrand.
- Let $u=g(x)$; then $du=g'(x)\,dx$.
- Rewrite the whole integral in terms of $u$ — the messy $x$-expression turns into a simple $u$-integral.
- Then integrate in $u$ and substitute back $u=g(x)$ at the end.
Renommer la fonction interne en $u$
- Cherchez une fonction interne $g(x)$ dont la dérivée $g'(x)$ apparaît aussi (à une constante près) dans l'intégrande.
- Posons $u=g(x)$ ; alors $du=g'(x)\,dx$.
- Réécrivez toute l'intégrale en fonction de $u$ — l'expression compliquée en $x$ devient une simple intégrale en $u$.
- Ensuite intégrez en $u$ et remettez $u=g(x)$ à la fin.
A composite ready for u-sub · Une fonction composée prête pour la substitution u
y = ax³ + bx
An integrand like $2x(x^2+1)^3$ hides an inner function and its derivative — the signal to substitute. · Un intégrande comme $2x(x^2+1)^3$ cache une fonction interne et sa dérivée — le signal pour substituer.
For · Pour $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$, a good choice is $u=$ · Pour $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$, un bon choix est $u=$
$u=x^2+1$ has $du=2x\,dx$, which is present. · $u=x^2+1$ contient $du=2x\,dx$, qui est présent.
A clean example of the pattern
- $\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$. Inner function $u=x^2+1$, so $du=2x\,dx$.
- The $2x\,dx$ in the integral is exactly $du$ — a perfect match.
- The integral becomes $\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C$.
- Substitute back: $\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$.
Un exemple propre du motif
- $\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$. Fonction interne $u=x^2+1$, donc $du=2x\,dx$.
- La $2x\,dx$ dans l'intégrale correspond exactement à $du$ — une correspondance parfaite.
- L'intégrale devient $\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C$.
- Remettez en place : $\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$.
$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ equals... · $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ est égal à...
$\int u^3\,du=\tfrac{u^4}{4}+C$, then back-substitute. · $\int u^3\,du=\tfrac{u^4}{4}+C$, puis faire la contre-substitution.
Handle the constant, or the limits
- If $du$ is off by a constant factor, just multiply/divide to fix it (e.g. $x\,dx=\tfrac12\,du$).
- For a definite integral, either substitute back to $x$ before evaluating, or change the limits to $u$-values.
- Changing limits is cleaner: convert $a,b$ into $u(a),u(b)$ and never return to $x$.
- Always end an indefinite answer in terms of the original variable $x$.
Gérer la constante, ou les bornes
- Si $du$ est décalé d'un facteur constante, multipliez/divisez simplement pour corriger (ex. : $x\,dx=\tfrac12\,du$).
- Pour une intégrale définie, soit remettez en place à $x$ avant d'évaluer, soit changez les bornes en valeurs $u$.
- Changer les bornes est plus propre : convertissez $a,b$ en $u(a),u(b)$ et ne revenez jamais à $x$.
- Terminez toujours une réponse indéfinie en termes de la variable originale $x$.
Evaluate · Évaluer $\int_0^1 3x^2(x^3+1)^2\,dx$ (let $u=x^3+1$). Enter a decimal. · Évaluer $\int_0^1 3x^2(x^3+1)^2\,dx$ (laisser $u=x^3+1$). Entrer un décimal.
$\int_1^2 u^2\,du=\tfrac{8-1}{3}=\tfrac73\approx2.333$.
A correct u-substitution converts $dx$ entirely into $du$, leaving no stray $x$. · Une bonne substitution u convertit $dx$ entièrement en $du$, ne laissant aucun $x$ errant.
A leftover $x$ or · ou $dx$ is the classic mistake. · Un $x$ ou $dx$ résiduel est l'erreur classique.
u-substitution works when the integrand contains the inner function's... · La substitution u fonctionne lorsque l'intégrande contient la... de la fonction interne
The inner derivative $g'(x)$ must be present (times a constant). · La dérivée interne $g'(x)$ doit être présente (multipliée par une constante).
u-sub works only when the inner derivative is present (up to a constant). If $g'(x)$ isn't there, you can't just invent it. And don't forget to convert $dx$ into $du$ — leaving a stray $dx$ or a leftover $x$ is the classic error. For definite integrals, either change the limits or back-substitute, not a mix.
Le changement de variable ne fonctionne que si la dérivée interne est présente (à une constante près). Si $g'(x)$ n'est pas là, vous ne pouvez pas l'inventer. Et n'oubliez pas de convertir $dx$ en $du$ — laisser un $dx$ errant ou un $x$ résiduel est l'erreur classique. Pour les intégrales définies, changez les bornes ou remettez en place, pas un mélange des deux.
Evaluate $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,(x^3+1)^2\,dx$.
- Let $u=x^3+1$, so $du=3x^2\,dx$. Limits: $x=0\Rightarrow u=1$, $x=1\Rightarrow u=2$.
- Integral becomes $\displaystyle\int_1^2 u^2\,du=\Big[\tfrac{u^3}{3}\Big]_1^2=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}$.
Évaluez $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,(x^3+1)^2\,dx$.
- Posons $u=x^3+1$, donc $du=3x^2\,dx$. Bornes : $x=0\Rightarrow u=1$, $x=1\Rightarrow u=2$.
- L'intégrale devient $\displaystyle\int_1^2 u^2\,du=\Big[\tfrac{u^3}{3}\Big]_1^2=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}$.
u-substitution reverses the chain rule: set $u=g(x)$ (the inner function), replace $g'(x)\,dx$ with $du$, integrate in $u$, then substitute back (or change the limits for a definite integral). It works when the inner derivative appears up to a constant factor. Always convert $dx\to du$ fully.
Le changement de variable inverse la règle de chaîne : posez $u=g(x)$ (la fonction interne), remplacez $g'(x)\,dx$ par $du$, intégrez en $u$, puis remettez en place (ou changez les bornes pour une intégrale définie). Ça marche quand la dérivée interne apparaît à un facteur constant près. Convertissez toujours entièrement $dx\to du$.