Riemann Sums, Summation Notation, and Definite Integral Notation · Sommes de Riemann, notation de sommation et notation d'intégrale définie
| English | Français |
|---|---|
| summation notation/sʌˈmeɪʃn nəʊˈteɪʃn/ | notation sommatoire |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | intégrale définie |
| limits of integration/ˈlɪmɪts ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | limites d'intégration |
Writing "add up all the rectangles" compactly
- A Riemann sum with many rectangles needs tidy notation — enter the summation notation 求和记号.
- $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ means "add $f(x_i)\,\Delta x$ for $i=1$ to $n$."
- Each strip has width $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ and height $f(x_i)$ at a sample point.
- The $\Sigma$ just says "sum these rectangle areas."
Écrire « additionner tous les rectangles » de manière compacte
- Une somme de Riemann avec beaucoup de rectangles nécessite une notation soignée — entrez la notation de sommation 求和记号.
- $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ signifie « additionnez $f(x_i)\,\Delta x$ pour $i=1$ à $n$."
- Chaque bande a une largeur $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ et une hauteur $f(x_i)$ en un point d'échantillonnage.
- Le $\Sigma$ indique simplement « additionnez ces aires rectangulaires."
For · Pour $n$ equal strips on $[a,b]$, the width $\Delta x$ is... · Pour $n$ bandes égales sur $[a,b]$, la largeur $\Delta x$ est...
The interval width divided by the number of strips. · La largeur de l'intervalle divisée par le nombre de bandes.
The symbol $\sum_{i=1}^{n}$ tells you to... · Le symbole $\sum_{i=1}^{n}$ vous indique de...
Sigma means sum over the index range. · Sigma signifie sommant sur la plage d'indices.
Let the rectangles get infinitely thin
- The estimate improves as $n$ grows and $\Delta x$ shrinks. Take the limit $n\to\infty$.
- In that limit the rectangle sum becomes the exact area — no approximation left.
- That limiting value is the definite integral 定积分.
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$$
Laissez les rectangles devenir infiniment fins
- L'estimation s'améliore lorsque $n$ augmente et $\Delta x$ diminue. Prenez la limite $n\to\infty$.
- Dans cette limite, la somme rectangulaire devient l'aire exacte — aucune approximation restante.
- Cette valeur limite est l'intégrale définie 定积分.
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$$
The integral is the exact area · L'intégrale est l'aire exacte
y = x²
As the rectangles thin to nothing, their sum becomes the exact shaded area — the definite integral. · Lorsque les rectangles s'affinent jusqu'à disparaître, leur somme devient l'aire ombragée exacte — l'intégrale définie.
The definite integral $\int_a^b f\,dx$ is the limit of a Riemann sum as... · L'intégrale définie $\int_a^b f\,dx$ est la limite d'une somme de Riemann lorsque...
Infinitely many infinitely-thin rectangles → exact area. · Infiniment de rectangles infiniment fins → aire exacte.
Reading the integral notation
- $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$: the $\int$ is a stretched "S" for sum; $a$ and $b$ are the limits of integration 积分限.
- $f(x)$ is the integrand (what you're accumulating); $dx$ is the infinitely thin width.
- Read it "the integral of $f$ of $x$, from $a$ to $b$."
- It denotes the exact signed area between the curve and the $x$-axis over $[a,b]$.
Lire la notation intégrale
- $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ : le $\int$ est un « S » allongé pour somme ; $a$ et $b$ sont les limites d'intégration 积分限.
- $f(x)$ est l'intégrande (ce que vous accumulez) ; $dx$ est la largeur infiniment fine.
- Lisez-le « l'intégrale de $f$ de $x$, de $a$ à $b$."
- Il désigne l'aire signée exacte entre la courbe et l'axe $x$ sur $[a,b]$.
In $\int_a^b f(x)\,dx$, the function $f(x)$ being accumulated is called the ____. · Dans $\int_a^b f(x)\,dx$, la fonction $f(x)$ qui est accumulée est appelée le ____.
$a,b$ are the limits; $f(x)$ is the integrand. · $a,b$ sont les limites ; $f(x)$ est l'intégrande.
It's still signed area
- Just like the Riemann sum, the definite integral is signed.
- Where $f>0$ the integral adds area; where $f<0$ it subtracts.
- So $\int_a^b f\,dx$ can be positive, negative, or zero.
- $\Delta x$ carries the direction: going from $a$ to $b$ with $a
C'est toujours une aire signée
- Tout comme la somme de Riemann, l'intégrale définie est signée.
- Là où $f>0$ ajoute de l'aire ; là où $f<0$ la soustrait.
- Donc $\int_a^b f\,dx$ peut être positif, négatif ou nul.
- $\Delta x$ porte la direction : passer de $a$ à $b$ avec $a
A definite integral $\int_a^b f\,dx$ evaluates to a single number. · Une intégrale définie $\int_a^b f\,dx$ se réduit à un nombre unique.
It is a signed-area number, not a function. · C'est un nombre d'aire signée, pas une fonction.
If $f(x)<0$ over all of $[a,b]$, then $\int_a^b f\,dx$ is... · Si $f(x)<0$ sur tout $[a,b]$, alors $\int_a^b f\,dx$ est...
Below-axis area is negative signed area. · L'aire sous l'axe est une aire signée négative.
The definite integral is a number (a signed area), not a function — don't confuse it with the indefinite integral (a family of antiderivatives, lesson 6.8). And $\int_a^b f\,dx$ is signed area: a curve dipping below the axis makes a negative contribution, so the integral is not the same as "total geometric area."
L'intégrale définie est un nombre (une aire signée), pas une fonction — ne la confondez pas avec l'intégrale indéfinie (une famille de primitives, leçon 6.8). Et $\int_a^b f\,dx$ est une aire signée : une courbe descendant sous l'axe apporte une contribution négative, donc l'intégrale n'est pas la même chose que « l'aire géométrique totale."
Express the area under $f(x)=x^2$ on $[0,2]$ as a definite integral.
- Width of each of $n$ strips: $\Delta x=\dfrac{2-0}{n}=\dfrac2n$.
- Riemann sum: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$.
- Exact area: $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ (which equals $\tfrac83$).
Exprimez l'aire sous $f(x)=x^2$ sur $[0,2]$ comme une intégrale définie.
- Largeur de chacun des $n$ bandes : $\Delta x=\dfrac{2-0}{n}=\dfrac2n$.
- Somme de Riemann : $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$.
- Aire exacte : $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ (ce qui équivaut à $\tfrac83$).
A Riemann sum in summation notation is $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ with $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. Its limit as $n\to\infty$ is the definite integral $\int_a^b f(x)\,dx$ — the exact signed area, with $a,b$ the limits of integration and $f(x)$ the integrand.
Une somme de Riemann en notation de sommation est $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ avec $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. Sa limite quand $n\to\infty$ tend vers l'infini est l'intégrale définie $\int_a^b f(x)\,dx$ — l'aire signée exacte, avec $a,b$ les limites d'intégration et $f(x)$ l'intégrande.