Implicit Differentiation · Différentiation implicite
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| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | dérivation implicite |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | implicite |
When you can't solve for $y$
- The circle $x^2+y^2=25$ defines $y$ implicitly 隐式 — you can't write it as a single $y=f(x)$.
- Yet the curve still has a slope at each point. How do we get $\tfrac{dy}{dx}$ without solving for $y$?
- The trick: differentiate both sides with respect to $x$, treating $y$ as a hidden function of $x$.
- This is implicit differentiation 隐函数求导.
Quand on ne peut pas isoler $y$
- Le cercle $x^2+y^2=25$ définit $y$ implicitement 隐式 — vous ne pouvez pas l'écrire comme une simple $y=f(x)$.
- Pourtant, la courbe possède encore une pente en chaque point. Comment obtenons-nous $\tfrac{dy}{dx}$ sans résoudre pour $y$ ?
- Le tour de force : différencier les deux côtés par rapport à $x$, en traitant $y$ comme une fonction cachée de $x$.
- C'est la différentiation implicite 隐函数求导.
An equation like $x^2+y^2=25$ defines $y$ ____, since it is not solved for $y$. · Une équation comme $x^2+y^2=25$ définit $y$ ____, car elle n'est pas résolue pour $y$.
That is why we use implicit differentiation. · C'est pourquoi nous utilisons la différenciation implicite.
Every $y$ term triggers the chain rule
- Because $y$ secretly depends on $x$, differentiating a $y$-term needs the chain rule.
- $\dfrac{d}{dx}[y^2]=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}$ — the extra $\tfrac{dy}{dx}$ is the inner derivative.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$ as usual (no $y$, no extra factor).
- So each time you differentiate a term containing $y$, tack on a $\tfrac{dy}{dx}$.
Chaque terme $y$ active la règle de la chaîne
- Parce que $y$ dépend secrètement de $x$, dériver un terme $y$ nécessite la règle de la chaîne.
- $\dfrac{d}{dx}[y^2]=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}$ — le terme $\tfrac{dy}{dx}$ supplémentaire est la dérivée interne.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$ comme d'habitude (pas de $y$, pas de facteur supplémentaire).
- Ainsi, chaque fois que vous différenciez un terme contenant $y$, ajoutez un $\tfrac{dy}{dx}$.
Differentiating with respect to $x$, $\dfrac{d}{dx}[y^2]=$ · En dérivant par rapport à $x$, $\dfrac{d}{dx}[y^2]=$
Chain rule: $2y$ times the inner derivative $\tfrac{dy}{dx}$. · Règle de la chaîne : $2y$ fois la dérivée interne $\tfrac{dy}{dx}$.
Solve for $\tfrac{dy}{dx}$
- After differentiating, you get an equation with $\tfrac{dy}{dx}$ scattered around.
- Collect all $\tfrac{dy}{dx}$ terms on one side, everything else on the other.
- Factor out $\tfrac{dy}{dx}$ and divide to isolate it.
- The result usually depends on both $x$ and $y$ — that's expected for a curve.
Résoudre pour $\tfrac{dy}{dx}$
- Après différentiation, vous obtenez une équation avec $\tfrac{dy}{dx}$ dispersé partout.
- Regrouper tous les termes $\tfrac{dy}{dx}$ d'un côté, tout le reste de l'autre.
- Factoriser $\tfrac{dy}{dx}$ et diviser pour l'isoler.
- Le résultat dépend généralement de les deux $x$ et $y$ — c'est normal pour une courbe.
A tangent slope on a curve · Une pente tangente sur une courbe
y = √(25 − x²) (upper semicircle) · y = √(25 − x²) (demi-cercle supérieur)
Even a curve you can't solve for $y$ has a tangent at each point — implicit differentiation finds that slope. · Même une courbe que vous ne pouvez pas résoudre pour $y$ a une tangente à chaque point — la différenciation implicite trouve cette pente.
Put the implicit-differentiation steps in order. · Mettez les étapes de la différenciation implicite dans l'ordre.
Differentiate, collect, solve, then evaluate. · Dérivez, regroupez, résolvez, puis évaluez.
Evaluate at a point
- To get an actual slope, plug a point $(x,y)$ on the curve into your $\tfrac{dy}{dx}$ formula.
- For $x^2+y^2=25$: differentiating gives $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0$, so $\tfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$.
- At $(3,4)$: slope $=-\tfrac34$. At $(3,-4)$: slope $=+\tfrac34$.
- The same $x$ can give different slopes — because the curve has two $y$-branches.
Évaluer en un point
- Pour obtenir une pente réelle, insérer un point $(x,y)$ sur la courbe dans votre formule de $\tfrac{dy}{dx}$.
- Pour $x^2+y^2=25$ : la différentiation donne $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0$, donc $\tfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$.
- En $(3,4)$ : pente $=-\tfrac34$. En $(3,-4)$ : pente $=+\tfrac34$.
- Le même $x$ peut donner des pentes différentes — car la courbe a deux branches $y$.
For · Pour $x^2+y^2=25$, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$. Find the slope at $(3,4)$ (a decimal). · Pour $x^2+y^2=25$, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$. Trouver la pente en $(3,4)$ (un décimal).
$-\tfrac{3}{4}=-0.75$.
The factor $\tfrac{dy}{dx}$ is added to every term, including pure $x$ terms like $x^2$. · Le facteur $\tfrac{dy}{dx}$ est ajouté à chaque terme, y compris aux termes purement $x$ comme $x^2$.
Only terms containing $y$ get the $\tfrac{dy}{dx}$ factor. · Seuls les termes contenant $y$ reçoivent le facteur $\tfrac{dy}{dx}$.
Differentiating $xy$ with respect to $x$ gives... · En dérivant $xy$ par rapport à $x$ on obtient...
Product rule: $\frac{d}{dx}[xy]=1\cdot y+x\cdot\tfrac{dy}{dx}$. · Règle du produit : $\frac{d}{dx}[xy]=1\cdot y+x\cdot\tfrac{dy}{dx}$.
The chain-rule factor $\tfrac{dy}{dx}$ appears only on terms containing $y$. $\frac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ (no factor), but $\frac{d}{dx}[y^3]=3y^2\tfrac{dy}{dx}$. Forgetting the $\tfrac{dy}{dx}$ on $y$-terms is the defining mistake of implicit differentiation. And a product like $xy$ needs the product rule: $\frac{d}{dx}[xy]=y+x\tfrac{dy}{dx}$.
Le facteur de la règle de la chaîne $\tfrac{dy}{dx}$ apparaît uniquement sur les termes contenant $y$. $\frac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ (pas de facteur), mais $\frac{d}{dx}[y^3]=3y^2\tfrac{dy}{dx}$. Oublier le $\tfrac{dy}{dx}$ sur les termes $y$ est l'erreur typique de la différentiation implicite. Et un produit comme $xy$ nécessite la règle du produit : $\frac{d}{dx}[xy]=y+x\tfrac{dy}{dx}$.
Find $\tfrac{dy}{dx}$ for $x^2+y^2=25$ at the point $(3,4)$.
- Differentiate: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$.
- Solve: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{2y}=-\dfrac{x}{y}$.
- At $(3,4)$: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$ — the tangent slope there.
Trouver $\tfrac{dy}{dx}$ pour $x^2+y^2=25$ au point $(3,4)$.
- Différenciez : $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$.
- Résoudre : $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{2y}=-\dfrac{x}{y}$.
- En $(3,4)$ : $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$ — la pente de la tangente là-bas.
Implicit differentiation: differentiate both sides with respect to $x$, treating $y$ as a function of $x$ so every $y$-term picks up a $\tfrac{dy}{dx}$ (chain rule); then collect, factor, and solve for $\tfrac{dy}{dx}$. Plug in a point on the curve to get a slope. The answer usually depends on both $x$ and $y$.
Différentiation implicite : différencier les deux côtés par rapport à $x$, en traitant $y$ comme une fonction de $x$ afin que chaque terme $y$ prenne un $\tfrac{dy}{dx}$ (règle de la chaîne) ; ensuite regrouper, factoriser et résoudre pour $\tfrac{dy}{dx}$. Insérer un point sur la courbe pour obtenir une pente. La réponse dépend généralement des deux $x$ et $y$.