Selecting Techniques for Antidifferentiation · Sélectionner les techniques d'antidérivation
| English | Français |
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| antidifferentiation/ˌæntɪˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | primitivation |
Which antiderivative tool fits?
- You now have several ways to integrate — the skill is choosing the right technique fast.
- Antidifferentiation 求原函数 has no single algorithm, so you read the integrand's structure.
- A quick triage points you to a basic rule, a substitution, or an algebraic rewrite.
- This lesson is the decision guide that ties the integration methods together.
Quel outil d'intégrale de base convient ?
- Vous avez maintenant plusieurs moyens d'intégrer ; la compétence consiste à choisir la bonne technique rapidement.
- L'intégration 求原函数 n'a pas d'algorithme unique, vous devez lire la structure de l'intégrande.
- Un premier tri rapide vous oriente vers une règle de base, une substitution ou une réécriture algébrique.
- Cette leçon est le guide de décision qui relie les méthodes d'intégration.
Read the integrand, pick the method · Lisez l'intégrande, choisissez la méthode
y = ax³ + bx
Whether an integrand is a plain power, a composite, or an improper fraction decides which antiderivative tool to use. · Que l'intégrande soit une simple puissance, une fonction composée ou une fraction impropre détermine quel outil d'antidérivée utiliser.
First: does a basic rule fit directly?
- Is the integrand a power, or one of the standard forms ($\sin, \cos, e^x, \tfrac1x$)?
- If so, apply the basic rule and add $+C$ — no tricks needed.
- $\displaystyle\int (x^3+\cos x)\,dx$ is just term-by-term basic antiderivatives.
- Always try this first; it's the fastest path.
Premièrement : une règle de base s'applique-t-elle directement ?
- L'intégrande est-il une puissance, ou l'une des formes standards ($\sin, \cos, e^x, \tfrac1x$) ?
- Si oui, appliquez la règle de base et ajoutez $+C$ — aucun astuce requise.
- $\displaystyle\int (x^3+\cos x)\,dx$ n'est que des intégrales de base terme par terme.
- Essayez toujours cela en premier ; c'est le chemin le plus rapide.
What is the fastest method for $\int (3x^2+e^x)\,dx$? · Quelle est la méthode la plus rapide pour $\int (3x^2+e^x)\,dx$ ?
Both terms are standard antiderivatives → basic rules. · Les deux termes sont des antidérivées standards → règles de base.
Next: is there an inner function with its derivative?
- Spot a composite with its inner derivative present → u-substitution.
- $\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx$: inner $u=x^2$, and $2x\,dx=du$ is right there.
- If $du$ is off by a constant, adjust; if the inner derivative is truly absent, u-sub won't help.
- This handles the large class of chain-rule-shaped integrals.
Suite : y a-t-il une fonction interne avec sa dérivée ?
- Repérez une composée dont la dérivée interne est présente → substitution u.
- $\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx$ : interne $u=x^2$, et $2x\,dx=du$ est juste là.
- Si $du$ diffère d'une constante, ajustez ; si la dérivée interne est vraiment absente, la substitution u ne servira à rien.
- Cela couvre la grande classe des intégrandes de forme de règle de la chaîne.
Which integral is best done by u-substitution? · Quel intégrale est le mieux résolu par substitution u ?
A composite with its inner derivative ($u=x^2+1$, $du=2x\,dx$) → u-sub. · Une fonction composée avec sa dérivée intérieure ($u=x^2+1$, $du=2x\,dx$) → substitution u.
Select all · tout correct method signals. · Sélectionnez tous les signaux de méthode corrects.
u-sub is not universal — match the method to the structure. · la substitution u n'est pas universelle — adaptez la méthode à la structure.
Otherwise: rewrite the algebra first
- No basic rule and no clean substitution? Rewrite the integrand.
- Improper rational fraction → long division; irreducible quadratic denominator → complete the square.
- Expand a product, split a fraction into separate terms, or simplify — then re-triage.
- After the rewrite, a basic rule or u-sub usually finishes it.
Sinon : réécrivez l'algèbre d'abord
- Pas de règle de base ni substitution propre ? Réécrivez l'intégrande.
- Fraction rationnelle impropre → division polynomiale ; dénominateur quadratique irréductible → compléter le carré.
- Développez un produit, séparez une fraction en termes distincts, ou simplifiez — puis re-triez.
- Après la réécriture, une règle de base ou une substitution u terminent généralement le travail.
The first step for $\int\dfrac{x^2}{x-1}\,dx$ is... · La première étape pour $\int\dfrac{x^2}{x-1}\,dx$ est...
Numerator degree ≥ denominator degree → divide first. · Degré du numérateur ≥ degré du dénominateur → diviser d'abord.
You can check any antiderivative by differentiating it back to the integrand. · Vous pouvez vérifier toute antidérivée en la dérivant pour retrouver l'intégrande.
Differentiating your answer should return $f$. · La dérivation de votre réponse doit retourner $f$.
Order the techniques from first to last to try. · Classez les techniques de la première à la dernière à essayer.
Basic rule, then u-sub, then rewrite. · Règle de base, puis substitution u, puis réécriture.
Don't reach for a heavy technique before checking the easy ones. Try a basic rule first, then u-substitution, and only then an algebraic rewrite. And confirm every antiderivative by differentiating it back to the integrand — that catches most mistakes on the spot.
N'utilisez pas une technique lourde avant d'avoir vérifié les options simples. Essayez d'abord une règle de base, puis la substitution u, et seulement ensuite une réécriture algébrique. Et vérifiez chaque intégrale en la dérivant pour retrouver l'intégrande — cela permet de repérer la plupart des erreurs instantanément.
Choose a method for each, then note the first step:
- $\displaystyle\int (3x^2 + e^x)\,dx$: basic rules → $x^3+e^x+C$.
- $\displaystyle\int x\,\sqrt{x^2+1}\,dx$: u-sub ($u=x^2+1$, $du=2x\,dx$).
- $\displaystyle\int \dfrac{x^2}{x-1}\,dx$: long division first (improper fraction).
Choisissez une méthode pour chacun, puis notez la première étape :
- $\displaystyle\int (3x^2 + e^x)\,dx$ : règles de base → $x^3+e^x+C$.
- $\displaystyle\int x\,\sqrt{x^2+1}\,dx$ : substitution u ($u=x^2+1$, $du=2x\,dx$).
- $\displaystyle\int \dfrac{x^2}{x-1}\,dx$ : division polynomiale d'abord (fraction impropre).
Selecting an antidifferentiation technique: try a basic rule first; if the integrand is a composite with its inner derivative, use u-substitution; otherwise rewrite the algebra (long division / completing the square / expanding) and re-triage. Always verify by differentiating your answer.
Sélectionner une technique d'intégration : essayez d'abord une règle de base ; si l'intégrande est une composée avec sa dérivée interne, utilisez la substitution u ; sinon réécrivez l'algèbre (division polynomiale / complétion du carré / développement) et re-triez. Vérifiez toujours en dérivant votre réponse.