Modeling Situations with Differential Equations · Modélisation de situations avec des équations différentielles
| English | Français |
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| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | équation différentielle |
Equations that describe change itself
- Many real laws describe not a quantity, but how fast it changes.
- A differential equation 微分方程 relates a function to its derivatives.
- "Population grows at a rate proportional to its size" becomes $\dfrac{dP}{dt}=kP$.
- Solving it recovers the function; this unit is about writing and solving such equations.
Équations décrivant le changement lui-même
- De nombreuses lois réelles ne décrivent pas une quantité, mais la vitesse à laquelle elle change.
- Une équation différentielle 微分方程 relie une fonction à ses dérivées.
- « La population croît à un taux proportionnel à sa taille » devient $\dfrac{dP}{dt}=kP$.
- La résoudre récupère la fonction ; cette unité porte sur l'écriture et la résolution de telles équations.
A rate equation's slope field · Un champ de pentes pour une équation de taux
The equation · L'équation $\tfrac{dy}{dt}=ky$ says the rate is proportional to $y$ — its slope field shows the growth it models. · L'équation $\tfrac{dy}{dt}=ky$ indique que le taux est proportionnel à $y$ — son champ de pentes montre la croissance qu'il modélise.
A differential equation relates a function to its... · Une équation différentielle relie une fonction à ses...
It involves the function and its derivative(s). · Elle implique la fonction et sa(ses) dérivée(s).
Translating words into a rate equation
- The phrase "the rate of change of $y$" is $\dfrac{dy}{dt}$ — the left side of your equation.
- "proportional to $y$" → $ky$; "proportional to the difference from $M$" → $k(M-y)$.
- Match the English description of the rate to an expression in $y$ (and maybe $t$).
- The whole model is: (rate of change) = (that expression).
Traduire des mots en une équation de taux
- L'expression « le taux de variation de $y$ » correspond à $\dfrac{dy}{dt}$ — le côté gauche de votre équation.
- « proportionnel à $y$ » → $ky$ ; « proportionnel à l'écart par rapport à $M$ » → $k(M-y)$.
- Faites correspondre la description anglaise du taux à une expression en $y$ (et peut-être $t$).
- Le modèle entier est : (taux de variation) = (cette expression).
"The rate of change of $y$ is proportional to $y$" becomes... · "Le taux de variation de $y$ est proportionnel à $y$" devient...
Rate of change $\frac{dy}{dt}$ = $k$ times $y$. · Taux de variation $\frac{dy}{dt}$ = $k$ fois $y$.
Water drains at a rate proportional to the amount $W$. The model is... · L'eau se vide à un taux proportionnel à la quantité $W$. Le modèle est...
Draining means decreasing → negative rate: $-kW$. · Le vidage signifie une diminution → taux négatif : $-kW$.
Common modeling phrases
- Proportional to the amount: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — exponential growth/decay.
- Proportional to the amount present and remaining: $\dfrac{dy}{dt}=ky(M-y)$ — logistic-type.
- Constant rate: $\dfrac{dy}{dt}=c$.
- Reading the phrase tells you the right-hand side.
Formules courantes de modélisation
- Proportionnel à la quantité : $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — croissance/décroissance exponentielle.
- Proportionnel à la quantité présente ET restante : $\dfrac{dy}{dt}=ky(M-y)$ — type logistique.
- Taux constant : $\dfrac{dy}{dt}=c$.
- Lire la formule vous indique le côté droit.
Match each phrase to its rate expression. · Reliez chaque phrase à son expression de taux.
Read the phrase to build the right-hand side. · Lisez la phrase pour construire le membre de droite.
A differential equation has a family of solutions
- Unlike an algebraic equation (one unknown number), a differential equation has an unknown function.
- Its solution is usually a family of functions (with a constant), not a single answer.
- A specific member is pinned down later by an initial condition (lesson 7.7).
- For now, the goal is just to write the equation from the situation.
Une équation différentielle a une famille de solutions
- Contrairement à une équation algébrique (un nombre inconnu), une équation différentielle a une fonction inconnue.
- Sa solution est généralement une famille de fonctions (avec une constante), pas une réponse unique.
- Un membre spécifique est déterminé ultérieurement par une condition initiale (leçon 7.7).
- Pour l'instant, l'objectif est simplement d'écrire l'équation à partir de la situation.
$y=kt$ (with no derivative) is a differential equation. · $y=kt$ (sans dérivée) est une équation différentielle.
A differential equation must involve a derivative. · Une équation différentielle doit impliquer une dérivée.
The solution of a differential equation is usually a ____ of functions, not a single one. · La solution d'une équation différentielle est généralement une ____ de fonctions, pas une seule.
A constant remains until an initial condition fixes it. · Une constante persiste jusqu'à ce qu'une condition initiale la fixe.
A differential equation involves a derivative — it's a statement about a rate, not the quantity itself. "$y$ is proportional to $t$" ($y=kt$) is not a differential equation; "the rate of change of $y$ is proportional to $y$" ($\frac{dy}{dt}=ky$) is. Look for the "rate of change" language.
Une équation différentielle implique une dérivée — c'est une déclaration sur un taux, pas sur la quantité elle-même. « $y$ est proportionnel à $t$ » ($y=kt$) n'est pas une équation différentielle ; « le taux de variation de $y$ est proportionnel à $y$ » ($\frac{dy}{dt}=ky$) l'est. Cherchez le langage « taux de variation ».
"A tank's water drains at a rate proportional to the amount of water $W$." Write the model.
- Rate of change of $W$: $\dfrac{dW}{dt}$.
- Proportional to $W$, and draining (decreasing) → $\dfrac{dW}{dt}=-kW$ (with $k>0$).
- The negative sign encodes that the water is decreasing.
"L'eau d'un réservoir s'écoule à un taux proportionnel à la quantité d'eau $W$." Écrivez le modèle.
- Taux de variation de $W$ : $\dfrac{dW}{dt}$.
- Proportionnel à $W$, et s'écoulant (diminuant) → $\dfrac{dW}{dt}=-kW$ (avec $k>0$).
- Le signe négatif encode le fait que l'eau diminue.
A differential equation relates a function to its derivatives — it models a rate of change. Translate the words: "rate of change of $y$" is $\frac{dy}{dt}$, "proportional to $y$" is $ky$, and so on. Its solution is a family of functions, pinned down later by an initial condition.
Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées — elle modélise un taux de variation. Traduisez les mots : « taux de variation de $y$ » est $\frac{dy}{dt}$, « proportionnel à $y$ » est $ky$, etc. Sa solution est une famille de fonctions, déterminée ultérieurement par une condition initiale.