Continuous random variables · Variables aléatoires continues
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|---|---|
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | variable aléatoire continue |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | fonction de densité de probabilité |
| area/ˈeərɪə/ | aire |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | fonction de répartition cumulative |
The curve that tells probabilities
- A continuous random variable 连续型随机变量 can take any value in a range — like the exact time a bus arrives, or the precise height of a person.
- Unlike discrete variables, you can't list probabilities for each value. Instead, a probability density function 概率密度函数 (pdf) describes the shape, and probabilities are areas 面积 under the curve.
La courbe qui donne les probabilités
- Une variable aléatoire continue 连续型随机变量 peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle — comme l'heure exacte d'arrivée d'un bus, ou la taille précise d'une personne.
- Contrairement aux variables discrètes, on ne peut pas lister les probabilités pour chaque valeur. Au lieu de cela, une fonction de densité de probabilité 概率密度函数 (pdf) décrit la forme, et les probabilités sont des surface 面积 sous la courbe.
The probability density function
- A continuous random variable can take any value in a range, described by a probability density function $f(x)$:
Worked example. $f(x) = \dfrac{x}{8}$ for $0 \leq x \leq 4$, zero otherwise. Check: $\int_0^4 \dfrac{x}{8}\,dx = \left[\dfrac{x^2}{16}\right]_0^4 = \dfrac{16}{16} = 1$. ✓
$f(x)$ is NOT a probability. The value of $f(x)$ at a point can be greater than 1. Only the area under the curve between two points gives a probability.
For a continuous variable, probability is the area under the density f(x)
La fonction de densité de probabilité
- Une variable aléatoire continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle, décrite par une fonction de densité de probabilité $f(x)$ :
Exemple résolu. $f(x) = \dfrac{x}{8}$ pour $0 \leq x \leq 4$, zéro sinon. Vérification : $\int_0^4 \dfrac{x}{8}\,dx = \left[\dfrac{x^2}{16}\right]_0^4 = \dfrac{16}{16} = 1$. ✓
$f(x)$ n'est PAS une probabilité. La valeur de $f(x)$ en un point peut être supérieure à 1. Seule la surface sous la courbe entre deux points donne une probabilité.
Pour une variable continue, la probabilité est la surface sous la densité f(x)
Area = probability · Aire = probabilité
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
For a continuous variable, probability · probabilité is the area · aire under the density curve between two values. · Pour une variable continue, la probabilité est l'aire sous la courbe de densité entre deux valeurs.
A probability density function must satisfy ∫f(x)dx over all x equals what value? · Une fonction de densité de probabilité doit satisfaire ∫f(x)dx sur tous les x égale quelle valeur ?
The total area under a pdf is always 1. · L'aire totale sous une pdf est toujours 1.
The value of f(x) at a point is the probability that X equals that value. · La valeur de f(x) en un point n'est pas la probabilité que X prenne cette valeur.
f(x) is a density, not a probability. Only the area under f gives a probability. f(x) can even exceed 1. · f(x) est une densité, pas une probabilité. Seule l'aire sous f donne une probabilité. f(x) peut même dépasser 1.
For f(x) = x/8 on 0 ≤ x ≤ 4, verify ∫₀⁴ (x/8) dx = [x²/16]₀⁴. What is the result? · Pour f(x) = x/8 sur 0 ≤ x ≤ 4, vérifiez ∫₀⁴ (x/8) dx = [x²/16]₀⁴. Quel est le résultat ?
[x²/16]₀⁴ = 16/16 − 0 = 1. The total area is 1, confirming it is a valid pdf. · [x²/16]₀⁴ = 16/16 − 0 = 1. L'aire totale est 1, confirmant qu'il s'agit d'une vpd valide.
Finding probabilities
- A probability is an area under $f$: $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
Probabilities are areas under f(x); the total area over all x must equal 1.
Trouver des probabilités
- Une probabilité est une surface sous $f$ : $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
Les probabilités sont des aires sous f(x) ; l'aire totale sur tout x doit être égale à 1.
For a continuous variable, P(a < X < b) is the area under f(x) between a and b. · Pour une variable continue, P(a < X < b) est l'aire sous f(x) entre a et b.
Probabilities for a continuous variable are areas under the density function. · Les probabilités d'une variable continue sont des aires sous la fonction de densité.
Finding the mean and variance
- The mean is $E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx$.
- The variance is $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$, where $E(X^2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx$.
Trouver la moyenne et la variance
- La moyenne est $E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx$.
- La variance est $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$, où $E(X^2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx$.
For f(x) = ½x on 0 ≤ x ≤ 2, E(X) = ∫₀² x(½x) dx = [x³/6]₀². What is E(X)? (≈, 2 dp) · Pour f(x) = ½x sur 0 ≤ x ≤ 2, E(X) = ∫₀² x(½x) dx = [x³/6]₀². Quelle est E(X) ? (≈, 2 dp)
E(X) = ∫₀² ½x² dx = [x³/6]₀² = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33.
The cumulative distribution function 累积分布函数
- The cdf $F(x) = P(X \leq x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$.
- $F(x)$ is the area under $f$ up to $x$. It always increases from 0 to 1.
- Use the density function to find the median and other percentiles.
La fonction de répartition cumulative 累积分布函数
- La cdf (fonction de répartition) $F(x) = P(X \leq x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$.
- $F(x)$ est l'aire sous $f$ jusqu'à $x$. Elle augmente toujours de 0 à 1.
- Utilisez la fonction de densité pour trouver la médiane et d'autres percentiles.
The cumulative distribution function F(x) gives: · La fonction de répartition F(x) donne :
F(x) = P(X ≤ x) = the area under f up to x. · F(x) = P(X ≤ x) = l'aire sous f jusqu'à x.
You've got it
- a pdf has $f(x) \geq 0$ and total area $\int f = 1$
- a probability is the area under $f$ between the limits
- the mean $E(X) = \int x\,f(x)\,dx$
Vous avez compris
- une pdf (densité de probabilité) a $f(x) \geq 0$ et une aire totale $\int f = 1$
- une probabilité est l'aire sous $f$ entre les limites
- la moyenne $E(X) = \int x\,f(x)\,dx$