Probability generating functions · Fonctions génératrices de probabilité
| English | Français |
|---|---|
| discrete distribution/dɪˈskriːt ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribution discrète |
| probability generating function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdʒenəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | fonction génératrice de probabilité |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | coefficient |
| variance/ˈveərɪəns/ | écart |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | dérivée |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | indépendant |
A distribution in a single function
- A discrete distribution 离散分布 is a list of probabilities — clumsy to manipulate.
- A probability generating function 概率母函数 (PGF) packs the whole list into one tidy function, turning hard probability sums into easy calculus.
Une distribution en une seule fonction
- Une distribution discrète 离散分布 est une liste de probabilités — fastidieuse à manipuler.
- Une fonction génératrice de probabilités 概率母函数 (PGF) condense toute la liste en une fonction propre, transformant des sommes de probabilités difficiles en calculs élémentaires faciles.
Probability generating function lab · Laboratoire de fonction génératrice de probabilité
G(x) = p0 + p1 x + p2 x^2 + ...
Change x and see how a PGF stores probabilities in powers of x. · Changez x et voyez comment une PGF stocke les probabilités dans les puissances de x.
Defining the PGF
- For a discrete variable $X$ taking values $0, 1, 2, \dots$:
- The coefficient 系数 of $t^x$ is exactly $P(X = x)$ — the function encodes the distribution.
A probability generating function stores all the probabilities as coefficients
Définir la PGF
- Pour une variable discrète $X$ prenant les valeurs $0, 1, 2, \dots$ :
- Le coefficient 系数 de $t^x$ est exactement $P(X = x)$ — la fonction encode la distribution.
Une fonction génératrice de probabilités stocke toutes les probabilités comme coefficients
The probability generating function of X is defined as: · La fonction génératrice de probabilité de X est définie comme :
G(t) = E(tˣ) = Σ P(X=x) tˣ.
Mean and variance 方差 from derivatives 导数
- Differentiate and evaluate at $t = 1$:
Worked example. $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$. Then $G'(t) = 0.3 + 0.4t$, so $E(X) = G'(1) = 0.3 + 0.4 = 0.7$.
Moyenne et variance 方差 à partir des dérivées 导数
- Dériver et évaluer en $t = 1$ :
Exemple résolu. $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$. Puis $G'(t) = 0.3 + 0.4t$, donc $E(X) = G'(1) = 0.3 + 0.4 = 0.7$.
X has G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t². Since E(X) = G′(1) and G′(t) = 0.3 + 0.4t, what is E(X)? · X a G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t². Puisque E(X) = G′(1) et G′(t) = 0.3 + 0.4t, quelle est E(X) ?
G'(1) = 0.3 + 0.4(1) = 0.7.
The mean is found from the PGF by E(X) = G′(). · La moyenne est trouvée via la FGP par E(X) = G′().
E(X) = G'(1).
Sums of independent 独立 variables
- The single most useful property: the PGF of a sum of independent variables is the product of their PGFs:
- This makes adding independent variables (e.g. total of several dice) almost effortless.
Sommes de variables indépendantes 独立
- La propriété la plus utile : la PGF d'une somme de variables indépendantes est le produit de leurs PGFs :
- Cela rend l'addition de variables indépendantes (ex. : total de plusieurs dés) presque sans effort.
For any valid PGF, what is the value of G(1)? · Pour toute FGP valide, quelle est la valeur de G(1) ?
G(1) = Σ P(X=x) = 1, since probabilities sum to 1. · G(1) = Σ P(X=x) = 1, car les probabilités somment à 1.
The PGF of a sum of two independent variables is the product of their PGFs. · La FGP d'une somme de deux variables indépendantes est le produit de leurs FGP.
G_{X+Y}(t) = G_X(t) G_Y(t) for independent X and Y. · G_{X+Y}(t) = G_X(t) G_Y(t) pour X et Y indépendants.
Check it's a valid PGF
$G(1)$ must equal 1. Since $G(1) = \sum P(X = x)$, a valid PGF always gives $G(1) = 1$ — a quick sanity check before you differentiate.
Vérifier que c'est une PGF valide
$G(1)$ doit valoir 1. Puisque $G(1) = \sum P(X = x)$, une PGF valide donne toujours $G(1) = 1$ — un rapide contrôle de cohérence avant de dériver.
You've got it
- PGF: $G(t) = E(t^X) = \sum P(X=x)\,t^x$ (and $G(1) = 1$)
- $E(X) = G'(1)$; $\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - (G'(1))^2$
- the PGF of a sum of independent variables is the product of their PGFs
Vous avez compris
- PGF : $G(t) = E(t^X) = \sum P(X=x)\,t^x$ (et $G(1) = 1$)
- $E(X) = G'(1)$; $\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - (G'(1))^2$
- la PGF d'une somme de variables indépendantes est le produit de leurs PGFs