Integration (Further Pure 2) · Intégration (Further Pure 2)
| English | Français |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | primitive |
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | écriture scientifique |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | substitution |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | hyperbolique |
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | trigonométrique |
| surd/sɜːd/ | racine carrée (irrationnelle) |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | formule de réduction |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | longueur d'arc |
Integrals that fight back
- Some integrals have no obvious antiderivative 原函数 — until you spot the standard form 标准形式 or the right substitution 代换.
- Further Pure 2 gives you a toolkit: inverse-trig standard integrals, trig/hyperbolic 双曲 substitutions, and reduction formulae.
Intégrales qui répliquent
- Certaines intégrales n'ont pas d'antidérivée évidente 原函数 — jusqu'à ce que vous repériez la forme standard 标准形式 ou la bonne substitution 代换.
- Further Pure 2 vous fournit une boîte à outils : intégrales standards trigonométriques inverses, substitutions trigonométriques/hyperboliques 双曲 et formules de réduction.
Standard integrals
- Two results worth memorising:
- Match the integral to the form, read off $a$, and write the answer.
A definite integral measures the area under a curve
Intégrales standards
- Deux résultats dignes d'être mémorisés :
- Faites correspondre l'intégrale à la forme, lisez $a$, et écrivez la réponse.
Une intégrale définie mesure l'aire sous une courbe
The area under the curve · L'aire sous la courbe
area = ∫ f(x) dx · aire = ∫ f(x) dx
Every integral measures the area · aire under the curve — drag the limits. · Chaque intégrale mesure l'aire sous la courbe — faites glisser les limites.
What is ∫ 1/(a² + x²) dx? · Quelle est ∫ 1/(a² + x²) dx ?
This is the standard inverse-tangent integral. · C'est l'intégrale standard de tangente inverse.
What is ∫ 1/√(4 − x²) dx? · Quelle est ∫ 1/√(4 − x²) dx ?
With a = 2, ∫1/√(a²−x²) dx = sin⁻¹(x/a) = sin⁻¹(x/2) + C. · Avec a = 2, ∫1/√(a²−x²) dx = sin⁻¹(x/a) = sin⁻¹(x/2) + C.
Match each integral to its result. · Reliez chaque intégrale à son résultat.
The first two are the inverse-trig standard forms; ∫1/x dx = ln|x| + C. · Les deux premières sont les formes standards des arcs-trigonométriques ; ∫1/x dx = ln|x| + C.
Substitution
- A trigonometric 三角 substitution ($x = a\sin\theta$ or $x = a\tan\theta$) turns a surd 根式 or quadratic denominator into something simple.
- A hyperbolic substitution ($x = a\sinh u$) handles $\sqrt{a^2 + x^2}$.
Worked example. $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$. Here $a^2 = 9$, so $a = 3$: the answer is $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$.
Substitution
- Une substitution trigonométrique 三角 ($x = a\sin\theta$ ou $x = a\tan\theta$) transforme un radical 根式 ou un dénominateur quadratique en quelque chose de simple.
- Une substitution hyperbolique ($x = a\sinh u$) gère $\sqrt{a^2 + x^2}$.
Exemple résolu. $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$. Ici $a^2 = 9$, donc $a = 3$ : la réponse est $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$.
In ∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C, what is a? · Dans ∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C, quelle est a ?
a² = 9 so a = 3; the integral is (1/3)tan⁻¹(x/3) + C. · a² = 9 donc a = 3 ; l'intégrale est (1/3)tan⁻¹(x/3) + C.
Reduction formulae
- A reduction formula 递推公式 links an integral $I_n$ to a lower one $I_{n-1}$ (or $I_{n-2}$).
- Apply it repeatedly to climb down to a base case you can integrate directly.
Don't lose the limits. For a definite integral, the boundary term in a reduction formula is evaluated at the limits each time — a common place to drop a sign or a factor.
Formules de réduction
- Une formule de récurrence 递推公式 relie une intégrale $I_n$ à une inférieure $I_{n-1}$ (ou $I_{n-2}$).
- Appliquez-la répétitivement pour descendre en bas vers un cas de base que vous pouvez intégrer directement.
Ne perdez pas les limites. Pour une intégrale définie, le terme aux bornes dans une formule de réduction est évalué aux limites à chaque fois — un endroit fréquent où l'on peut perdre un signe ou un facteur.
A reduction formula links an integral Iₙ to Iₙ₋₁ so you can work down step by step. · Une formule de récurrence relie une intégrale Iₙ à Iₙ₋₁ afin de descendre étape par étape.
Reduction formulae express a higher-index integral in terms of a lower one. · Les formules de récurrence expriment une intégrale d'indice supérieur en termes d'une intégrale d'indice inférieur.
Applications
- Integration also measures curves themselves:
- Arc length 弧长: $\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Surface area of revolution: $\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Integrate using trigonometric substitutions, hyperbolic functions, and completing the square in the denominator.
Applications
- L'intégration mesure aussi les courbes elles-mêmes :
- Longueur d'arc 弧长 : $\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Aire de surface de révolution : $\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Intégrez en utilisant des substitutions trigonométriques, des fonctions hyperboliques et la complétion du carré dans le dénominateur.
Arc length is the integral of √(1 + ()²) dx. · La longueur d'arc est l'intégrale de √(1 + ()²) dx.
Arc length s = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx. · Longueur d'arc s = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx.
You've got it
- $\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$; $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
- use a trig / hyperbolic substitution for surds and quadratic denominators
- a reduction formula steps $I_n$ down to $I_{n-1}$; integration also gives arc length and surface area
Vous avez compris
- $\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$; $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
- utilisez une substitution trig / hyperbolique pour les radicaux et les dénominateurs quadratiques
- une formule de réduction fait descendre $I_n$ vers $I_{n-1}$ ; l'intégration donne aussi la longueur d'arc et l'aire de surface