Vector geometry · Geometría vectorial
| English | Español |
|---|---|
| collinear/ˈkɒlɪnɪə/ | colineales |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | vector de posición |
| parallel/ˈpærəlel/ | paralelo |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | punto medio |
Proving points line up
- How do you prove that three points are collinear 共线 (lie on the same line)?
- Show that the vector from the first to the second is a scalar multiple of the vector from the second to the third.
Demostrar que los puntos están alineados
- ¿Cómo demuestras que tres puntos son colineales (están en la misma línea)?
- Demuestra que el vector del primer punto al segundo es un múltiplo escalar del vector del segundo al tercero.
Position vectors 位置向量 and $\overrightarrow{AB}$
- The position vector of a point is the vector from the origin $O$ to it.
- The vector from $A$ to $B$:
If $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ and $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$, then $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
Vectores de posición y $\overrightarrow{AB}$
- El vector de posición de un punto es el vector desde el origen $O$ hasta él.
- El vector de $A$ a $B$:
Si $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ y $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$, entonces $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
Vector geometry · Geometría vectorial
resultant = a + b · resultante = a + b
Combine vectors to reach a point — the resultant is the direct route. · Combinar vectores para llegar a un punto — el vector resultante es la ruta directa.
If a and b are the position vectors of A and B, then the vector AB is: · Si a y b son los vectores de posición de A y B, entonces el vector AB es:
AB = (position of B) − (position of A) = b − a. · AB = (posición de B) − (posición de A) = b − a.
A has position vector (1, 3) and B has position vector (4, 7). The top component of AB is? · A tiene vector de posición (1, 3) y B tiene vector de posición (4, 7). ¿Cuál es el componente superior de AB?
AB = b − a: top = 4 − 1 = 3. · AB = b − a: componente superior = 4 − 1 = 3.
Parallel 平行 vectors and collinear points
- Two vectors are parallel if one is a scalar multiple of the other: $\mathbf{p} = k\mathbf{q}$.
- Three points $A, B, C$ are collinear if $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{BC}$ are parallel and share the point $B$.
Parallel alone isn't enough. Two vectors can be parallel without the points being collinear — they could be on separate parallel lines. You need a shared point too.
Vectores paralelos y puntos colineales
- Dos vectores son paralelos si uno es un múltiplo escalar del otro: $\mathbf{p} = k\mathbf{q}$.
- Tres puntos $A, B, C$ son colineales si $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{BC}$ son paralelos y comparten el punto $B$.
El paralelismo solo no basta. Dos vectores pueden ser paralelos sin que los puntos sean colineales — podrían estar en líneas paralelas separadas. También necesitas un punto compartido.
Two vectors are parallel if one is a scalar multiple of the other. · Dos vectores son paralelos si uno es un múltiplo escalar del otro.
Parallel vectors point the same (or opposite) way, so one is k times the other. · Los vectores paralelos apuntan en la misma (u opuesta) dirección, por lo que uno es k veces el otro.
To prove three points are collinear, show the vectors between them are ______ and share a point. · Para demostrar que tres puntos son colineales, muestre que los vectores entre ellos son ______ y comparten un punto.
Collinear points have parallel vectors between them AND a shared point. · Los puntos colineales tienen vectores paralelos entre sí Y un punto compartido.
Midpoint 中点 of a segment
- $M$ is the midpoint of $AB$, where $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$.
- The midpoint's position vector is the average of the two endpoints.
The magnitude of a column vector is found with Pythagoras
Punto medio de un segmento
- $M$ es el punto medio de $AB$, donde $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ y $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$.
- El vector de posición del punto medio es el promedio de los dos extremos.
La magnitud de un vector columna se encuentra con Pitágoras
M is the midpoint of AB. The position vector OM is: · M es el punto medio de AB. El vector de posición OM es:
OM = a + ½(b − a) = ½(a + b).
A = (2, 4) and B = (8, 10). The midpoint M has x-coordinate? · A = (2, 4) y B = (8, 10). ¿Cuál es la coordenada x del punto medio M?
½(2 + 8) = 5.
Why vectors matter
- Video games, physics engines, and GPS all use vector mathematics to track positions and movements.
Position vectors locate points on the grid — the foundation for proving collinearity and finding midpoints.
Por qué importan los vectores
- Los videojuegos, los motores de física y el GPS utilizan matemáticas vectoriales para rastrear posiciones y movimientos.
Los vectores de posición ubican puntos en la cuadrícula — la base para demostrar la colinealidad y encontrar puntos medios.
A complete vector proof
- If $\overrightarrow{OA}=\mathbf a$, $\overrightarrow{OB}=\mathbf b$, and M is the midpoint of AB, then $\overrightarrow{OM}=(\mathbf a+\mathbf b)/2$.
- Define C by $\overrightarrow{OC}=2\mathbf b-\mathbf a$. Then $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\mathbf b-\mathbf a=\overrightarrow{AB}$. Equal vectors share the direction and meet at B, so A, B, C are collinear and B is the midpoint of AC (for distinct A and B).
Una demostración vectorial completa
- Si $\overrightarrow{OA}=\mathbf a$, $\overrightarrow{OB}=\mathbf b$, y M es el punto medio de AB, entonces $\overrightarrow{OM}=(\mathbf a+\mathbf b)/2$.
- Define C mediante $\overrightarrow{OC}=2\mathbf b-\mathbf a$. Entonces $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\mathbf b-\mathbf a=\overrightarrow{AB}$. Los vectores iguales comparten la dirección y concurren en B, así que A, B, C son colineales y B es el punto medio de AC (para A y B distintos).
A = (1,3), B = (4,7) and OC = 2OB − OA. Find the x-coordinate of C. · A = (1,3), B = (4,7) y OC = 2OB − OA. Encuentra la coordenada x de C.
C = (8,14) − (1,3) = (7,11).
You've got it
- $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ (end minus start)
- parallel vectors are scalar multiples; that's how you show points are collinear
- midpoint of $AB$: $\;\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$
Lo has entendido
- $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ (extremo menos inicio)
- Los vectores paralelos son múltiplos escalares; así es como demuestras que los puntos son colineales
- Punto medio de $AB$: $\;\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$