Vectors and Motion in Two Dimensions · Vectores y movimiento en dos dimensiones
| English | Español |
|---|---|
| component/kəmˈpəʊnənt/ | componente |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | resultante |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | proyectil |
A plane flies northeast — two motions in one
- One arrow points "northeast", but the plane is really moving east and north at once.
- Almost no real motion is purely left–right or up–down.
- The trick of two-dimensional kinematics: split each vector into perpendicular pieces.
- Handle the pieces separately, then put them back together.
Un avión vuela hacia el noreste — dos movimientos en uno
- Una flecha apunta "noreste", pero el avión realmente se mueve hacia el este y hacia el norte al mismo tiempo.
- Casi ningún movimiento real es puramente de izquierda a derecha o de arriba hacia abajo.
- El truco de la cinemática bidimensional: descomponer cada vector en piezas perpendiculares.
- Manejar las piezas por separado, luego volver a unirlas.
Resolving into components
- Any vector can be replaced by two perpendicular components 分量 — one along $x$, one along $y$.
- Together the two components have exactly the same effect as the original vector.
- Choose axes that make the problem easy (often horizontal and vertical).
- The components carry signs, so "left" and "down" are just negative values.
Descomposición en componentes
- Cualquier vector puede reemplazarse por dos componentes perpendiculares — una a lo largo del eje $x$, otra a lo largo del eje $y$.
- Juntas, las dos componentes tienen exactamente el mismo efecto que el vector original.
- Elija ejes que faciliten el problema (a menudo horizontal y vertical).
- Las componentes llevan signo, por lo que "izquierda" y "abajo" son simplemente valores negativos.
The component formulas
- For a vector $\vec A$ of magnitude $A$ at angle $\theta$ above the $x$-axis:
- $A_x = A\cos\theta$ and $A_y = A\sin\theta$.
- These come straight from the right triangle the vector makes with its components.
- Going back: $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ and $\theta = \tan^{-1}\!\big(\tfrac{A_y}{A_x}\big)$.
Las fórmulas de los componentes
- Para un vector $\vec A$ de magnitud $A$ en un ángulo $\theta$ por encima del eje $x$:
- $A_x = A\cos\theta$ y $A_y = A\sin\theta$.
- Estas provienen directamente del triángulo rectángulo que forma el vector con sus componentes.
- Para revertir: $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ y $\theta = \tan^{-1}\!\big(\tfrac{A_y}{A_x}\big)$.
A velocity of $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ points $37^\circ$ above the horizontal. Its horizontal component is $10\cos 37^\circ$. With $\cos 37^\circ = 0.8$, what is $v_x$ in · hacia adentro $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$? · Una velocidad de $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ apunta a $37^\circ$ por encima de la horizontal. Su componente horizontal es $10\cos 37^\circ$. Con $\cos 37^\circ = 0.8$, ¿cuál es $v_x$ en $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v_x = A\cos\theta = 10 \times 0.8 = 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
For the same velocity, the vertical component is $10\sin 37^\circ$. With $\sin 37^\circ = 0.6$, what is $v_y$ in · hacia adentro $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$? · Para la misma velocidad, la componente vertical es $10\sin 37^\circ$. Con $\sin 37^\circ = 0.6$, ¿cuál es $v_y$ en $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v_y = A\sin\theta = 10 \times 0.6 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
A vector has components $A_x = 3$ and · y $A_y = 4$. What is its magnitude? · Un vector tiene componentes $A_x = 3$ y $A_y = 4$. ¿Cuál es su magnitud?
$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Not $3+4=7$ — the components are perpendicular. · $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. No $3+4=7$ — las componentes son perpendiculares.
The horizontal component of a vector $A$ at angle $\theta$ is $A$ ____ $\theta$. · La componente horizontal de un vector $A$ en un ángulo $\theta$ es $A$ ____ $\theta$.
The adjacent side of the right triangle is $A\cos\theta$, so $A_x = A\cos\theta$. · El cateto adyacente del triángulo rectángulo es $A\cos\theta$, por lo que $A_x = A\cos\theta$.
Adding vectors by components
- To add vectors, add the $x$-components and separately add the $y$-components.
- Never add the magnitudes directly — that only works if they point the same way.
- The sums $(\Sigma A_x,\ \Sigma A_y)$ are the components of the resultant 合矢量.
- Recombine with $\sqrt{\;}$ and $\tan^{-1}$ to get its magnitude and direction.
Suma de vectores por componentes
- Para sumar vectores, sume las componentes $x$ y, por separado, sume las componentes $y$.
- Nunca sume las magnitudes directamente; eso solo funciona si apuntan en la misma dirección.
- Las sumas $(\Sigma A_x,\ \Sigma A_y)$ son las componentes del vector resultante.
- Reemplace usando $\sqrt{\;}$ y $\tan^{-1}$ para obtener su magnitud y dirección.
Add two vectors by components · Sumar dos vectores por componentes
Drag two vectors and watch the resultant — its components are the sums of the parts. · Arrastra dos vectores y observa el resultante — sus componentes son la suma de las partes.
Order the steps to add two vectors using components, first step at the top. · Ordena los pasos para sumar dos vectores usando componentes, con el primer paso en la parte superior.
Resolve, add component-wise, then recombine magnitude and direction. · Descomponer, sumar componente a componente, y luego recombinar magnitud y dirección.
Perpendicular motions are independent
- The $x$-motion and the $y$-motion evolve separately — neither affects the other.
- Gravity pulls only downward, so it changes $v_y$ but leaves $v_x$ alone.
- This independence is the whole secret of projectile 抛体 motion (Topic 2).
- Drop a ball and fire one horizontally at the same instant: they land together.
Los movimientos perpendiculares son independientes
- El movimiento en $x$ y el movimiento en $y$ evolucionan por separado; ninguno afecta al otro.
- La gravedad solo tira hacia abajo, por lo que cambia $v_y$ pero deja $v_x$ intacto.
- Esta independencia es todo el secreto del movimiento de proyectiles (Tema 2).
- Deje caer una pelota y dispare otra horizontalmente al mismo instante: ambas tocarán el suelo al mismo tiempo.
The horizontal and vertical parts of a two-dimensional motion are independent of each other. · Las partes horizontal y vertical de un movimiento bidimensional son independientes entre sí.
Perpendicular components evolve separately — gravity changes $v_y$ but not $v_x$. This is the basis of projectile motion. · Las componentes perpendiculares evolucionan por separado — la gravedad cambia $v_y$ pero no $v_x$. Esta es la base del movimiento de proyectiles.
You cannot add two vectors by adding their sizes unless they point along the same line. A $3$-unit vector plus a perpendicular $4$-unit vector gives $5$, not $7$ — resolve into components (or use the triangle) first.
No puede sumar dos vectores sumando sus tamaños a menos que apunten a lo largo de la misma línea. Un vector de $3$ unidades más un vector perpendicular de $4$ unidades da como resultado $5$, no $7$; primero debe descomponerlos en componentes (o usar el triángulo).
Resolve a velocity of $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ aimed at $37^\circ$ above the horizontal (take $\cos 37^\circ \approx 0.8$, $\sin 37^\circ \approx 0.6$).
- $v_x = 10\cos 37^\circ \approx 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- $v_y = 10\sin 37^\circ \approx 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Check: $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. ✓
Resuelva una velocidad de $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ orientada a $37^\circ$ por encima de la horizontal (tomando $\cos 37^\circ \approx 0.8$, $\sin 37^\circ \approx 0.6$).
- $v_x = 10\cos 37^\circ \approx 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- $v_y = 10\sin 37^\circ \approx 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Verificación: $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. ✓
Split a 2-D vector into perpendicular components: $A_x = A\cos\theta$, $A_y = A\sin\theta$. Add vectors by adding $x$- and $y$-components separately, then recombine with $A = \sqrt{A_x^2+A_y^2}$. Perpendicular motions are independent — the key to projectiles.
Divida un vector 2-D en componentes perpendiculares: $A_x = A\cos\theta$, $A_y = A\sin\theta$. Sume vectores sumando las componentes $x$ e $y$ por separado, luego vuelva a combinarlas con $A = \sqrt{A_x^2+A_y^2}$. Los movimientos perpendiculares son independientes: la clave de los proyectiles.