Ratio Test for Convergence · Criterio de la Razón para la Convergencia
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| Ratio Test/ˈreɪʃɪəʊ test/ | Prueba de la Razón |
Comparing a term to the one before it
- When terms involve factorials or $n$th powers, comparisons are awkward. Use the Ratio Test 比值判别法 instead.
- It looks at how each term compares to the previous one — the ratio $\big|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\big|$ — in the limit.
- A ratio settling below $1$ means terms shrink geometrically fast, forcing convergence.
- It's the go-to test for factorials and exponentials.
Comparar un término con el anterior
- Cuando los términos involucran factoriales o potencias $n$-ésimas, las comparaciones directas son incómodas. En su lugar, utilice la Prueba de la Razón Ratio Test.
- Examina cómo se compara cada término con el anterior —la razón $\big|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\big|$— en el límite.
- Una razón que se estabiliza por debajo de $1$ indica que los términos decrecen geométricamente rápido, lo que fuerza la convergencia.
- Es la prueba preferida para factoriales y exponenciales.
The test
- Compute $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$.
- $L<1$: the series converges (absolutely).
- $L>1$ (or $L=\infty$): the series diverges.
- $L=1$: the test is inconclusive — use another test.
La prueba
- Calcule $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$.
- $L<1$: la serie converge (absolutamente).
- $L>1$ (o $L=\infty$): la serie diverge.
- $L=1$: la prueba es inconclusiva; utilice otra prueba.
A ratio below 1 forces convergence · Una razón por debajo de 1 fuerza la convergencia
If the ratio of consecutive terms settles below $1$, terms shrink geometrically fast — the series converges. · Si la razón de términos consecutivos se estabiliza por debajo de $1$, los términos decrecen geométricamente rápido — la serie converge.
In the Ratio Test, if $L=\lim|a_{n+1}/a_n|<1$, the series... · En el Criterio de la Razón, si $L=\lim|a_{n+1}/a_n|<1$, la serie...
$L<1$ → converges. · $L<1$ → converge.
The Ratio Test uses the absolute value of the ratio of consecutive terms. · El Criterio de la Razón utiliza el valor absoluto de la razón de términos consecutivos.
$L=\lim|a_{n+1}/a_n|$.
Factorials and powers love the ratio test
- Factorials telescope beautifully: $\dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1$ — the ratio simplifies enormously.
- Same for $n$th powers of a constant: $\dfrac{r^{n+1}}{r^n}=r$.
- So series like $\sum\tfrac{2^n}{n!}$ or $\sum\tfrac{n!}{n^n}$ are natural ratio-test problems.
- Write $\tfrac{a_{n+1}}{a_n}$, cancel, and take the limit.
Los factoriales y las potencias aman la prueba de la razón
- Los factoriales se simplifican bellamente: $\dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1$ — la razón se simplifica enormemente.
- Lo mismo ocurre con las potencias $n$-ésimas de una constante: $\dfrac{r^{n+1}}{r^n}=r$.
- Por lo tanto, series como $\sum\tfrac{2^n}{n!}$ o $\sum\tfrac{n!}{n^n}$ son problemas naturales para la prueba de la razón.
- Escriba $\tfrac{a_{n+1}}{a_n}$, cancele y calcule el límite.
If the Ratio Test gives $L=1$, then... · Si el Criterio de la Razón da $L=1$, entonces...
$L=1$ gives no information. · $L=1$ no proporciona información.
For · A favor $a_n=\tfrac{2^n}{n!}$, $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=$ · Para $a_n=\tfrac{2^n}{n!}$, $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=$
$\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\frac{2}{n+1}$.
The Ratio Test works especially well for series with... · El Criterio de la Razón funciona especialmente bien para series con...
p-series give $L=1$ (useless); factorials/exponentials simplify nicely. · Las p-series dan $L=1$ (inútil); los factoriales/exponenciales se simplifican bien.
The $L=1$ dead zone
- When $L=1$, the ratio test gives no information — the series could converge or diverge.
- This happens for p-series (e.g. $\sum\tfrac1{n^2}$ gives $L=1$), where you'd use the p-series rule instead.
- So the ratio test shines on factorials/exponentials but is useless on plain powers of $n$.
- Recognize $L=1$ and switch tools.
La zona muerta del $L=1$
- Cuando $L=1$, la prueba de la razón no proporciona información: la serie podría converger o divergir.
- Esto sucede en las series p (por ejemplo, $\sum\tfrac1{n^2}$ da $L=1$), donde debería usar la regla de las series p en su lugar.
- Así, la prueba de la razón destaca con factoriales/exponenciales, pero es inútil con potencias simples de $n$.
- Reconozca cuando $L=1$ y cambie de herramienta.
Since $\lim\tfrac{2}{n+1}=0<1$, the series $\sum\tfrac{2^n}{n!}$... · Dado que $\lim\tfrac{2}{n+1}=0<1$, la serie $\sum\tfrac{2^n}{n!}$...
$L=0<1$ → converges. · $L=0<1$ → converge.
Take the absolute value of the ratio, and remember the three cases: $L<1$ converges, $L>1$ diverges, $L=1$ is inconclusive (don't guess — use another test). The ratio test is powerful for factorials/exponentials but gives $L=1$ (useless) on p-series like $\sum\tfrac1{n^p}$.
Tome el valor absoluto de la razón, y recuerde los tres casos: $L<1$ converge, $L>1$ diverge, $L=1$ es inconclusivo (no adivine — use otra prueba). La prueba de la razón es poderosa para factoriales/exponenciales, pero arroja $L=1$ (sin utilidad) en series p como $\sum\tfrac1{n^p}$.
Does $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{n!}$ converge?
- $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\dfrac{2}{n+1}$.
- $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n+1}=0<1$.
- Since $L<1$, the series converges.
¿Converge $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{n!}$?
- $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\dfrac{2}{n+1}$.
- $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n+1}=0<1$.
- Dado que $L<1$, la serie converge.
The Ratio Test: $L=\lim\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|$. $L<1$ → converges, $L>1$ → diverges, $L=1$ → inconclusive. Ideal for factorials and exponentials (the ratios simplify); useless (gives $L=1$) on p-series.
La Prueba de la Razón: $L=\lim\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|$. $L<1$ → converge, $L>1$ → diverge, $L=1$ → inconclusivo. Ideal para factoriales y exponenciales (las razones se simplifican); inútil (da $L=1$) en series p.