Integral Test for Convergence · Criterio Integral de Convergencia
| English | Español |
|---|---|
| Integral Test/ˈɪntɪɡrəl test/ | Prueba Integral |
A series and an integral that rise or fall together
- If a series' terms come from a nice decreasing function, its fate matches that function's integral.
- The Integral Test 积分判别法 compares $\sum a_n$ with $\int f(x)\,dx$, where $a_n=f(n)$.
- Picture the terms as rectangle areas — they're bounded by the area under the curve.
- So the improper integral converging (or not) forces the series to do the same.
Una serie y una integral que convergen o divergen juntas
- Si los términos de una serie provienen de una función decreciente bien comportada, su destino coincide con la integral de esa función.
- La Prueba Integral 积分判别法 compara $\sum a_n$ con $\int f(x)\,dx$, donde $a_n=f(n)$.
- Imagine los términos como áreas de rectángulos — están acotados por el área bajo la curva.
- Por lo tanto, si la integral impropia converge (o no), obliga a la serie a hacer lo mismo.
The conditions
- The test needs $f$ to be positive, continuous, and decreasing for $x\ge$ some point.
- Then define $a_n=f(n)$ and compare with the improper integral.
- These conditions let the rectangles sandwich the area under $f$.
- Check all three before applying — a non-decreasing $f$ breaks the comparison.
Las condiciones
- La prueba requiere que $f$ sea positiva, continua y decreciente para $x\ge$ algún punto.
- Luego defina $a_n=f(n)$ y compárela con la integral impropia.
- Estas condiciones permiten que los rectángulos encierre al área bajo $f$.
- Verifique las tres condiciones antes de aplicarlas — una $f$ no decreciente rompe la comparación.
The Integral Test requires $f$ to be which on $[1,\infty)$? · El Criterio Integral requiere que $f$ sea · mar cuál en $[1,\infty)$?
Positive, continuous, decreasing — not necessarily a polynomial. · Positiva, continua, decreciente — no necesariamente un polinomio.
The Integral Test connects a series to an integral by setting $a_n=f(\ \_\_\ )$. · El Criterio Integral conecta una serie con una integral estableciendo $a_n=f(\ \_\_\ )$.
The terms are the function sampled at integers. · Los términos son la función evaluada en enteros.
The conclusion
- $\displaystyle\sum a_n$ and $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,dx$ both converge or both diverge — same fate.
- Compute the improper integral: if it's finite, the series converges; if infinite, it diverges.
- (The series' sum is not the integral's value — they only share convergence, not the number.)
- One improper integral settles the whole series.
La conclusión
- $\displaystyle\sum a_n$ y $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,dx$ ambos convergen o ambos divergen — tienen el mismo destino.
- Calcule la integral impropia: si es finita, la serie converge; si es infinita, diverge.
- (La suma de la serie no es el valor de la integral — solo comparten la convergencia, no el número.)
- Una sola integral impropia resuelve toda la serie.
The Integral Test says $\sum a_n$ and · y $\int_1^\infty f\,dx$... · El Criterio Integral dice que $\sum a_n$ y $\int_1^\infty f\,dx$...
They share fate, not value. · Comparten destino, no valor.
The value of the improper integral equals the sum of the series. · El valor de la integral impropia es igual a la suma de la serie.
They share convergence, not the value ($\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}\neq1$). · Comparten convergencia, no valor ($\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}\neq1$).
Why it works
- The rectangles of area $a_n$ fit just above or below the curve $y=f(x)$.
- So the series is squeezed between $\int f$ and $\int f + a_1$ — finite integral means finite series.
- This is a rigorous "area comparison," turning a sum into an integral you can evaluate.
- It's especially handy for terms like $\tfrac1{n^p}$ and $\tfrac1{n\ln n}$.
Por qué funciona
- Los rectángulos de área $a_n$ caben justo arriba o debajo de la curva $y=f(x)$.
- Así, la serie está encajada entre $\int f$ y $\int f + a_1$ — una integral finita implica una serie finita.
- Esto es una "comparación de áreas" rigurosa, convirtiendo una suma en una integral que puede evaluarse.
- Es especialmente útil para términos como $\tfrac1{n^p}$ y $\tfrac1{n\ln n}$.
Rectangles bounded by the curve · Rectángulos limitados por la curva
y = 1/x²
The term-rectangles fit against the area under $f$, so the series and the integral converge or diverge together. · Los rectángulos de término se ajustan al área bajo $f$, por lo que la serie y la integral convergen o divergen juntas.
Since $\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (finite), the series $\sum\tfrac1{n^2}$... · Dado que $\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (finito), la serie $\sum\tfrac1{n^2}$...
Finite integral → convergent series. · Integral finita → serie convergente.
If $\int_1^\infty f\,dx$ diverges (to $\infty$), then $\sum a_n$... · Si $\int_1^\infty f\,dx$ diverge (hacia $\infty$), entonces $\sum a_n$...
Same fate: divergent integral → divergent series. · Mismo destino: integral divergente → serie divergente.
The Integral Test needs $f$ positive, continuous, and decreasing — verify all three. And the test shares only convergence/divergence, not the value: $\sum a_n \neq \int_1^\infty f\,dx$ in general. Don't report the integral's value as the series' sum.
La Prueba Integral necesita que $f$ sea positiva, continua y decreciente — verifique las tres. Y la prueba comparte solo convergencia/divergencia, no el valor: $\sum a_n \neq \int_1^\infty f\,dx$ en general. No informe el valor de la integral como la suma de la serie.
Test $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ with the Integral Test.
- $f(x)=\tfrac1{x^2}$ is positive, continuous, decreasing for $x\ge1$. ✓
- $\displaystyle\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (finite, from lesson 6.13).
- The integral converges, so the series converges. (Its sum is $\tfrac{\pi^2}{6}$, not $1$.)
Pruebe $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ con la Prueba Integral.
- $f(x)=\tfrac1{x^2}$ es positiva, continua y decreciente para $x\ge1$. ✓
- $\displaystyle\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (finita, de la lección 6.13).
- La integral converge, así que la serie converge. (Su suma es $\tfrac{\pi^2}{6}$, no $1$.)
The Integral Test: if $f$ is positive, continuous, and decreasing with $a_n=f(n)$, then $\sum a_n$ and $\int_1^\infty f(x)\,dx$ share the same fate (both converge or both diverge). Evaluate the improper integral to decide — but its value is not the series' sum.
La Prueba Integral: si $f$ es positiva, continua y decreciente con $a_n=f(n)$, entonces $\sum a_n$ y $\int_1^\infty f(x)\,dx$ comparten el mismo destino (ambos convergen o ambos divergen). Evalúe la integral impropia para decidir — pero su valor no es la suma de la serie.