Implicit Differentiation · Derivación implícita
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| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | derivación implícita |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | implícita |
When you can't solve for $y$
- The circle $x^2+y^2=25$ defines $y$ implicitly 隐式 — you can't write it as a single $y=f(x)$.
- Yet the curve still has a slope at each point. How do we get $\tfrac{dy}{dx}$ without solving for $y$?
- The trick: differentiate both sides with respect to $x$, treating $y$ as a hidden function of $x$.
- This is implicit differentiation 隐函数求导.
Cuando no puedes despejar $y$
- La circunferencia $x^2+y^2=25$ define $y$ implícitamente — no se puede escribir como una única función $y=f(x)$.
- Sin embargo, la curva tiene una pendiente en cada punto. ¿Cómo obtenemos $\tfrac{dy}{dx}$ sin despejar $y$?
- El truco: derivar ambos lados con respecto a $x$, tratando a $y$ como una función oculta de $x$.
- Esto es derivación implícita.
An equation like $x^2+y^2=25$ defines $y$ ____, since it is not solved for $y$. · Una ecuación como $x^2+y^2=25$ define $y$ ____, ya que no está despejada para $y$.
That is why we use implicit differentiation. · Por eso usamos la derivación implícita.
Every $y$ term triggers the chain rule
- Because $y$ secretly depends on $x$, differentiating a $y$-term needs the chain rule.
- $\dfrac{d}{dx}[y^2]=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}$ — the extra $\tfrac{dy}{dx}$ is the inner derivative.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$ as usual (no $y$, no extra factor).
- So each time you differentiate a term containing $y$, tack on a $\tfrac{dy}{dx}$.
Cada término $y$ activa la regla de la cadena
- Como $y$ depende secretamente de $x$, derivar un término con $y$ requiere la regla de la cadena.
- $\dfrac{d}{dx}[y^2]=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}$ — el factor $\tfrac{dy}{dx}$ adicional es la derivada interna.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$ como siempre (sin $y$, sin factor extra).
- Por lo tanto, cada vez que derivas un término que contiene $y$, debes añadir un $\tfrac{dy}{dx}$.
Differentiating with respect to $x$, $\dfrac{d}{dx}[y^2]=$ · Al derivar con respecto a $x$, $\dfrac{d}{dx}[y^2]=$
Chain rule: $2y$ times the inner derivative $\tfrac{dy}{dx}$. · Regla de la cadena: $2y$ multiplicado por la derivada interna $\tfrac{dy}{dx}$.
Solve for $\tfrac{dy}{dx}$
- After differentiating, you get an equation with $\tfrac{dy}{dx}$ scattered around.
- Collect all $\tfrac{dy}{dx}$ terms on one side, everything else on the other.
- Factor out $\tfrac{dy}{dx}$ and divide to isolate it.
- The result usually depends on both $x$ and $y$ — that's expected for a curve.
Despejar $\tfrac{dy}{dx}$
- Después de derivar, obtienes una ecuación con $\tfrac{dy}{dx}$ dispersa por toda la expresión.
- Agrupar todos los términos con $\tfrac{dy}{dx}$ en un lado y todo lo demás en el otro.
- Factorizar $\tfrac{dy}{dx}$ y dividir para aislarlo.
- El resultado generalmente depende de ambos, $x$ e $y$ — eso es esperado en una curva.
A tangent slope on a curve · Una pendiente tangente en una curva
y = √(25 − x²) (upper semicircle) · y = √(25 − x²) (semicírculo superior)
Even a curve you can't solve for $y$ has a tangent at each point — implicit differentiation finds that slope. · Incluso una curva que no se puede despejar para $y$ tiene una tangente en cada punto — la derivación implícita encuentra esa pendiente.
Put the implicit-differentiation steps in order. · Ordena los pasos de la derivación implícita.
Differentiate, collect, solve, then evaluate. · Derivar, agrupar, resolver, luego evaluar.
Evaluate at a point
- To get an actual slope, plug a point $(x,y)$ on the curve into your $\tfrac{dy}{dx}$ formula.
- For $x^2+y^2=25$: differentiating gives $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0$, so $\tfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$.
- At $(3,4)$: slope $=-\tfrac34$. At $(3,-4)$: slope $=+\tfrac34$.
- The same $x$ can give different slopes — because the curve has two $y$-branches.
Evaluar en un punto
- Para obtener una pendiente real, sustituye un punto $(x,y)$ sobre la curva en tu fórmula de $\tfrac{dy}{dx}$.
- Para $x^2+y^2=25$: al derivar obtenemos $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0$, de donde $\tfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$.
- En $(3,4)$: pendiente $=-\tfrac34$. En $(3,-4)$: pendiente $=+\tfrac34$.
- El mismo valor de $x$ puede dar pendientes diferentes — porque la curva tiene dos ramas de $y$.
For · A favor $x^2+y^2=25$, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$. Find the slope at $(3,4)$ (a decimal). · Para $x^2+y^2=25$, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$. Encuentra la pendiente en $(3,4)$ (un decimal).
$-\tfrac{3}{4}=-0.75$.
The factor $\tfrac{dy}{dx}$ is added to every term, including pure $x$ terms like $x^2$. · El factor $\tfrac{dy}{dx}$ se añade a cada término, incluidos los términos puros de $x$ como $x^2$.
Only terms containing $y$ get the $\tfrac{dy}{dx}$ factor. · Solo los términos que contienen $y$ reciben el factor $\tfrac{dy}{dx}$.
Differentiating $xy$ with respect to $x$ gives... · Al derivar $xy$ con respecto a $x$ se obtiene...
Product rule: $\frac{d}{dx}[xy]=1\cdot y+x\cdot\tfrac{dy}{dx}$. · Regla del producto: $\frac{d}{dx}[xy]=1\cdot y+x\cdot\tfrac{dy}{dx}$.
The chain-rule factor $\tfrac{dy}{dx}$ appears only on terms containing $y$. $\frac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ (no factor), but $\frac{d}{dx}[y^3]=3y^2\tfrac{dy}{dx}$. Forgetting the $\tfrac{dy}{dx}$ on $y$-terms is the defining mistake of implicit differentiation. And a product like $xy$ needs the product rule: $\frac{d}{dx}[xy]=y+x\tfrac{dy}{dx}$.
El factor de la regla de la cadena $\tfrac{dy}{dx}$ aparece solo en términos que contienen $y$. $\frac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ (sin factor), pero $\frac{d}{dx}[y^3]=3y^2\tfrac{dy}{dx}$. Olvidar el $\tfrac{dy}{dx}$ en los términos con $y$ es el error definitorio de la derivación implícita. Y un producto como $xy$ necesita la regla del producto: $\frac{d}{dx}[xy]=y+x\tfrac{dy}{dx}$.
Find $\tfrac{dy}{dx}$ for $x^2+y^2=25$ at the point $(3,4)$.
- Differentiate: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$.
- Solve: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{2y}=-\dfrac{x}{y}$.
- At $(3,4)$: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$ — the tangent slope there.
Encuentra $\tfrac{dy}{dx}$ para $x^2+y^2=25$ en el punto $(3,4)$.
- Deriva: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$.
- Despeja: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{2y}=-\dfrac{x}{y}$.
- En $(3,4)$: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$ — la pendiente de la tangente allí.
Implicit differentiation: differentiate both sides with respect to $x$, treating $y$ as a function of $x$ so every $y$-term picks up a $\tfrac{dy}{dx}$ (chain rule); then collect, factor, and solve for $\tfrac{dy}{dx}$. Plug in a point on the curve to get a slope. The answer usually depends on both $x$ and $y$.
Derivación implícita: deriva ambos lados con respecto a $x$, tratando a $y$ como una función de $x$ para que cada término con $y$ reciba un $\tfrac{dy}{dx}$ (regla de la cadena); luego agrupa, factoriza y despeja $\tfrac{dy}{dx}$. Sustituye un punto sobre la curva para obtener una pendiente. La respuesta generalmente depende tanto de $x$ como de $y$.