Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of y · Encontrar el Área entre Curvas Expresadas como Funciones de y
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| horizontal slice/ˌhɒrɪˈzɒntl slaɪs/ | rebanada horizontal |
Slice sideways instead of up-and-down
- Some regions are awkward with vertical strips — a sideways-opening parabola, say.
- The fix: slice into horizontal strips and integrate with respect to $y$ instead of $x$.
- Everything from the last lesson turns 90°: curves become functions of $y$, and you subtract right minus left.
- Same idea, rotated: add up horizontal gap-widths.
Corta lateralmente en lugar de arriba y abajo
- Algunas regiones son incómodas con franjas verticales — digamos, una parábola que se abre hacia los lados.
- La solución: corta en franjas horizontales e integra con respecto a $y$ en lugar de $x$.
- Todo lo aprendido en la lección anterior gira 90°: las curvas se convierten en funciones de $y$, y restas derecha menos izquierda.
- La misma idea, rotada: suma anchos de separación horizontales.
Right minus left
- Write the boundaries as functions of $y$: $x=f(y)$ (rightmost) and $x=g(y)$ (leftmost).
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$$A=\int_c^d \big(f(y)-g(y)\big)\,dy$$
- Each horizontal slice 水平切片 has width $f(y)-g(y)$ and height $dy$.
- Subtract rightmost minus leftmost so the width stays positive.
Derecha menos izquierda
- Escribe los límites como funciones de $y$: $x=f(y)$ (la más a la derecha) y $x=g(y)$ (la más a la izquierda).
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$$A=\int_c^d \big(f(y)-g(y)\big)\,dy$$
- Cada corte horizontal tiene ancho $f(y)-g(y)$ y altura $dy$.
- Resta derecha menos izquierda para que el ancho se mantenga positivo.
A sideways-opening parabola · Una parábola que se abre lateralmente
y = ax² + bx + c
When curves open sideways, horizontal slices (right minus left, integrated in $y$) are the clean choice. · Cuando las curvas se abren lateralmente, las rebanadas horizontales (derecha menos izquierda, integradas en $y$) son la opción más limpia.
With horizontal slices, the area is $\int_c^d(\ ?\ )\,dy$ where... · Con rebanadas horizontales, el área es $\int_c^d(\ ?\ )\,dy$ donde...
Horizontal strips: right curve minus left curve. · Tiras horizontales: curva derecha menos curva izquierda.
Bounds are now $y$-values
- The limits $c$ and $d$ are the lowest and highest $y$ of the region — often the curves' intersection $y$-values.
- Solve $f(y)=g(y)$ (in terms of $y$) for those bounds.
- Between them, test which curve is farther right.
- Then integrate the right-minus-left width from $c$ to $d$.
Los límites ahora son valores de $y$
- Los límites $c$ y $d$ corresponden al valor $y$ más bajo y el más alto de la región — usualmente los valores $y$ de intersección de las curvas.
- Resuelve $f(y)=g(y)$ (en términos de $y$) para encontrar esos límites.
- Entre ellos, verifica cuál curva está más a la derecha.
- Luego integra el ancho de (derecha menos izquierda) desde $c$ hasta $d$.
For a $dy$ integral, the limits of integration are... · Para una integral $dy$, los límites de integración son...
Integrating in $y$ means $y$-limits. · Integrar respecto a $y$ significa usar límites de $y$.
Where do $x=y^2$ and · y $x=y+2$ intersect (in $y$)? · ¿Dónde se intersectan $x=y^2$ y $x=y+2$ (en $y$)?
$y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
When to choose $dy$ over $dx$
- Prefer horizontal slices when the curves are naturally $x=$(function of $y$), or when vertical slices would need splitting.
- A region bounded on the left and right by different curves (but top/bottom by single points) is a $dy$ situation.
- If the "upper" curve would change midway with vertical slices, horizontal slices may avoid the split.
- Pick whichever orientation makes each strip span one clean curve to one clean curve.
Cuándo elegir $dy$ sobre $dx$
- Prefiere cortes horizontales cuando las curvas están naturalmente expresadas como $x=$función de $y$, o cuando los cortes verticales requerirían dividir la región.
- Una región acotada a la izquierda y a la derecha por curvas diferentes (pero con topes superiores e inferiores en puntos únicos) es un caso para $dy$.
- Si la curva "superior" cambiara a mitad de camino con cortes verticales, los cortes horizontales pueden evitar esa división.
- Elige la orientación que permita que cada tira abarque una sola curva limpia a otra curva limpia sin interrupciones.
The area bounded by $x=y^2$ and · y $x=y+2$ is $\int_{-1}^2 (y+2-y^2)\,dy$. Compute it (a decimal). · El área acotada por $x=y^2$ y $x=y+2$ es $\int_{-1}^2 (y+2-y^2)\,dy$. Calcule el resultado (un decimal).
It evaluates to $\tfrac92=4.5$. · Se evalúa a $\tfrac92=4.5$.
For a horizontal-slice integral, you should write each boundary as $x$ in terms of $y$. · Para una integral con rebanadas horizontales, debe escribir cada frontera como $x$ en términos de $y$.
The strips run horizontally, so express $x$ as a function of $y$. · Las tiras corren horizontalmente, por lo que exprese $x$ como función de $y$.
Horizontal slices are preferable when... · Las rebanadas horizontales son preferibles cuando...
Sideways curves suit $dy$ integration. · Las curvas laterales se adaptan a la integración $dy$.
With horizontal slices you integrate right minus left in terms of $y$, and the limits are $y$-values (not $x$-values). Mixing them up — using $x$-limits with a $dy$ integral, or subtracting top-minus-bottom sideways — gives a wrong answer. Rewrite each boundary curve as $x$ in terms of $y$ first.
Con cortes horizontales integras derecha menos izquierda en términos de $y$, y los límites son valores de $y$ (no de $x$). Mezclarlos — usando límites de $x$ con una integral $dy$, o restando arriba menos abajo de lado — dará una respuesta incorrecta. Reescribe primero cada curva límite como $x$ en términos de $y$.
Find the area bounded by $x=y^2$ and $x=y+2$.
- Intersections (in $y$): $y^2=y+2\Rightarrow y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
- On $(-1,2)$ the line $x=y+2$ is farther right (test $y=0$: $2>0$).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((y+2)-y^2\big)\,dy=\tfrac{9}{2}$.
Encuentra el área acotada por $x=y^2$ y $x=y+2$.
- Intersecciones (en $y$): $y^2=y+2\Rightarrow y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
- En el intervalo $(-1,2)$, la recta $x=y+2$ está más a la derecha (prueba con $y=0$: $2>0$).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((y+2)-y^2\big)\,dy=\tfrac{9}{2}$.
For curves given as functions of $y$, use horizontal slices: $A=\int_c^d\big(f(y)-g(y)\big)\,dy$, integrating rightmost minus leftmost with $y$-limits from the intersections. Choose $dy$ when it lets each strip run cleanly from one curve to another without splitting.
Para curvas dadas como funciones de $y$, usa cortes horizontales: $A=\int_c^d\big(f(y)-g(y)\big)\,dy$, integrando derecha menos izquierda con límites de $y$ obtenidos de las intersecciones. Elige $dy$ cuando esto permita que cada tira recorra limpiamente de una curva a otra sin necesidad de divisiones.