Connecting Position, Velocity, and Acceleration of Functions Using Integrals · Conectar Posición, Velocidad y Aceleración de Funciones Usando Integrales
| English | Español |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | la posición |
| Displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | Desplazamiento |
Motion, now run through integrals
- Unit 4 went position → velocity → acceleration by differentiating. Integration goes backward.
- Integrate acceleration to recover velocity; integrate velocity to recover position 位置.
- Each step adds up a rate to get the quantity it changes.
- So integrals rebuild the motion story from the rates.
Motion, now run through integrals
- La unidad 4 fue posición → velocidad → aceleración mediante diferenciación. La integración va hacia atrás.
- Integra aceleración para recuperar velocidad; integra velocidad para recuperar posición 位置.
- Cada paso suma una tasa para obtener la cantidad que cambia.
- Así, las integrales reconstruyen la historia del movimiento a partir de las tasas.
To recover position from velocity you... · Para recuperar la posición a partir de la velocidad debes...
Position · Posición $=$ initial $+\int v\,dt$. · Posición $=$ inicial $+\int v\,dt$.
Going up the chain
- Velocity from acceleration: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$.
- Position from velocity: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$.
- Each needs an initial value (the constant of integration in disguise).
- Integrate the rate, then add where you started.
Going up the chain
- Velocity from acceleration: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$.
- Position from velocity: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$.
- Cada una necesita un valor inicial (la constante de integración en disimulo).
- Integrate the rate, then add where you started.
Recovering position from velocity requires an ____ value to fix the constant. · Recuperar la posición a partir de la velocidad requiere un valor ____ para fijar la constante.
Position · Posición $=$ initial position $+\int v\,dt$. · Posición $=$ posición inicial $+\int v\,dt$.
Displacement vs. distance
- Displacement 位移 over $[a,b]$ is the signed integral of velocity: $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — net change in position.
- Total distance is the integral of speed $|v|$: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — it never subtracts.
- If the object turns around, displacement and distance differ.
- Displacement can be zero after real motion; distance cannot (unless it never moved).
Displacement vs. distance
- El desplazamiento 位移 sobre $[a,b]$ es la integral signada de la velocidad: $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — cambio neto en la posición.
- La distancia total es la integral de la rapidez $|v|$: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — nunca resta.
- Si el objeto cambia de dirección, el desplazamiento y la distancia difieren.
- El desplazamiento puede ser cero después de un movimiento real; la distancia no puede (a menos que nunca se haya movido).
Signed area under velocity · Área signada bajo la velocidad
y = t − 2 (velocity) · y = t − 2 (velocidad)
The signed area under $v(t)$ is displacement; taking absolute value on each piece (split at $v=0$) gives distance. · El área signada bajo $v(t)$ es el desplazamiento; tomar el valor absoluto en cada tramo (separado por $v=0$) da la distancia.
For · A favor $v(t)=t-2$ on $[0,3]$, find the displacement $\int_0^3 (t-2)\,dt$. · Para $v(t)=t-2$ en $[0,3]$, encuentra el desplazamiento $\int_0^3 (t-2)\,dt$.
$\tfrac92-6=-\tfrac32$.
Displacement can be zero even when the object has actually moved. · El desplazamiento puede ser cero aunque el objeto se haya movido realmente.
Out-and-back gives zero net displacement but positive distance. · Ir y volver da un desplazamiento neto cero pero una distancia positiva.
Distance means splitting at the turns
- To get total distance, find where $v=0$ (the turning points) and integrate $|v|$ piece by piece.
- On each piece $v$ keeps one sign, so $|v|$ is just $\pm v$ there.
- Add the absolute areas of the pieces — no cancellation.
- This "split at $v=0$" step is exactly what makes distance $\neq$ displacement.
La distancia implica dividir en los puntos de giro
- Para obtener la distancia total, encuentra donde $v=0$ (los puntos de giro) e integra $|v|$ por partes.
- En cada pieza $v$ se mantiene un signo, por lo que $|v|$ es simplemente $\pm v$ allí.
- Suma las áreas absolutas de las piezas — sin cancelación.
- Este paso de "dividir en $v=0$" es exactamente lo que convierte la distancia $\neq$ desplazamiento.
For · A favor $v(t)=t-2$ on $[0,3]$, total distance is $\int_0^3 |t-2|\,dt$. Compute it. · Para $v(t)=t-2$ en $[0,3]$, la distancia total es $\int_0^3 |t-2|\,dt$. Calcúlala.
Split at $t=2$: $2+\tfrac12=\tfrac52$. · Dividir en $t=2$: $2+\tfrac12=\tfrac52$.
Total distance traveled over $[a,b]$ is... · La distancia total recorrida sobre $[a,b]$ es...
Integrate speed $|v|$; splitting at turning points is required. · Integrar la rapidez $|v|$; es necesario separar en los puntos de giro.
Displacement ($\int v\,dt$) is signed and can be zero even after moving; total distance ($\int|v|\,dt$) is never negative. To get distance, split the interval where $v=0$ and add the absolute values — do not just integrate $v$ and take its absolute value at the end. And recovering position/velocity needs the initial value.
Desplazamiento ($\int v\,dt$) es una cantidad con signo y puede ser cero incluso después de moverse; la distancia total ($\int|v|\,dt$) nunca es negativa. Para obtener la distancia, divida el intervalo donde $v=0$ y sume los valores absolutos — no simplemente integre $v$ y tome su valor absoluto al final. Además, para recuperar la posición/velocidad se necesita el valor inicial.
A particle has $v(t)=t-2$ (m/s) on $[0,3]$. Find displacement and total distance.
- Displacement: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ m.
- $v=0$ at $t=2$: negative on $[0,2)$, positive on $(2,3]$.
- Distance: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ m.
Una partícula tiene $v(t)=t-2$ (m/s) en $[0,3]$. Encuentra el desplazamiento y la distancia total.
- Desplazamiento: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ m.
- $v=0$ en $t=2$: negativo en $[0,2)$, positivo en $(2,3]$.
- Distancia: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ m.
Integrals rebuild motion: velocity $=$ initial $+\int a\,dt$, position $=$ initial $+\int v\,dt$. Displacement over $[a,b]$ is the signed $\int_a^b v\,dt$; total distance is $\int_a^b|v|\,dt$ — split at the turning points ($v=0$) and add absolute values.
Las integrales reconstruyen el movimiento: la velocidad $=$ inicial $+\int a\,dt$, la posición $=$ inicial $+\int v\,dt$. El desplazamiento sobre $[a,b]$ es la signo $\int_a^b v\,dt$; la distancia total es $\int_a^b|v|\,dt$ — dividir en los puntos de giro ($v=0$) y sumar valores absolutos.