Exponential Models with Differential Equations · Modelos Exponenciales con Ecuaciones Diferenciales
| English | Español |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | crecimiento exponencial |
| exponential model/ˌekspəˈnenʃl ˈmɒdl/ | modelo exponencial |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | decaimiento exponencial |
The equation behind exponential growth
- One differential equation appears everywhere: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — "rate proportional to amount."
- Its solution is the famous exponential model 指数模型 $y=y_0 e^{kt}$.
- Population, radioactive decay, compound interest, cooling — all obey this pattern.
- Solve it once and you own a huge family of real-world models.
La ecuación detrás del crecimiento exponencial
- Una ecuación diferencial aparece en todas partes: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — "tasa proporcional a la cantidad."
- Su solución es el famoso modelo exponencial $y=y_0 e^{kt}$.
- Poblaciones, desintegración radiactiva, interés compuesto, enfriamiento: todos obedecen este patrón.
- Resuélvela una vez y tendrás en tu poder una gran familia de modelos del mundo real.
Deriving $y=y_0 e^{kt}$
- Separate: $\dfrac{1}{y}\,dy = k\,dt$. Integrate: $\ln|y|=kt+C$.
- Exponentiate: $y = e^{kt+C}=A\,e^{kt}$.
- Apply the initial amount $y(0)=y_0$: $A=y_0$.
- Solution: $y=y_0 e^{kt}$ — the initial value times $e^{kt}$.
Derivando $y=y_0 e^{kt}$
- Separa variables: $\dfrac{1}{y}\,dy = k\,dt$. Integra: $\ln|y|=kt+C$.
- Exponencia: $y = e^{kt+C}=A\,e^{kt}$.
- Aplica la cantidad inicial $y(0)=y_0$: $A=y_0$.
- Solución: $y=y_0 e^{kt}$ — el valor inicial multiplicado por $e^{kt}$.
The solution of $\dfrac{dy}{dt}=ky$ with $y(0)=y_0$ is... · La solución de $\dfrac{dy}{dt}=ky$ con $y(0)=y_0$ es...
Separate and integrate: $y=y_0 e^{kt}$. · Separe e integre: $y=y_0 e^{kt}$.
Growth when $k>0$
- If $k>0$, then $e^{kt}$ increases, so $y$ shows exponential growth 指数增长.
- The quantity keeps multiplying — the bigger it gets, the faster it grows.
- $k$ is the (continuous) growth rate; a larger $k$ means faster growth.
- Examples: unchecked populations, compound interest.
Crecimiento cuando $k>0$
- Si $k>0$, entonces $e^{kt}$ aumenta, por lo que $y$ muestra un crecimiento exponencial.
- La cantidad sigue multiplicándose; cuanto mayor es, más rápido crece.
- $k$ es la tasa de crecimiento (continua); un $k$ mayor significa un crecimiento más rápido.
- Ejemplos: poblaciones sin control, interés compuesto.
Growth (k>0) vs decay (k<0) · Crecimiento (k>0) vs decaimiento (k<0)
y = a·e^{bx}
$y=y_0 e^{kt}$ rises when $k>0$ and falls toward zero when $k<0$ — the sign of $k$ sets the behaviour. · $y=y_0 e^{kt}$ aumenta cuando $k>0$ y disminuye hacia cero cuando $k<0$ — el signo de $k$ determina el comportamiento.
In $y=y_0 e^{kt}$, exponential growth occurs when... · En $y=y_0 e^{kt}$, el crecimiento exponencial ocurre cuando...
$k>0$ makes $e^{kt}$ increase → growth. · $k>0$ hace que $e^{kt}$ aumente → crecimiento.
For · A favor $P=500e^{0.3t}$, find $P(0)$ (the initial amount). · Para $P=500e^{0.3t}$, encuentre $P(0)$ (la cantidad inicial).
$P(0)=500 e^0=500$.
Decay when $k<0$
- If $k<0$, then $e^{kt}$ decreases, so $y$ shows exponential decay 指数衰减.
- The quantity shrinks toward $0$ but never quite reaches it.
- Radioactive decay and cooling differences follow $k<0$.
- The magnitude $|k|$ sets how fast the decay happens (linked to half-life).
Decaimiento cuando $k<0$
- Si $k<0$, entonces $e^{kt}$ disminuye, por lo que $y$ muestra un decaimiento exponencial.
- La cantidad se acerca a $0$ pero nunca llega a alcanzarlo completamente.
- El decaimiento radiactivo y las diferencias de temperatura siguen $k<0$.
- La magnitud $|k|$ determina qué tan rápido ocurre el decaimiento (relacionada con la vida media).
Exponential decay occurs when $k$ is ____ (its sign). · El decaimiento exponencial ocurre cuando $k$ es ____ (su signo).
$k<0$ makes $e^{kt}$ shrink toward $0$. · $k<0$ hace que $e^{kt}$ se reduzca hacia $0$.
The model $y=y_0 e^{kt}$ applies to a situation with a constant rate $\dfrac{dy}{dt}=c$. · El modelo $y=y_0 e^{kt}$ se aplica a una situación con una tasa constante $\dfrac{dy}{dt}=c$.
Constant rate gives a line; the exponential model needs rate ∝ amount. · Una tasa constante produce una línea; el modelo exponencial necesita tasa ∝ cantidad.
Which situations are modeled by $\dfrac{dy}{dt}=ky$? · ¿Qué situaciones se modelan con $\dfrac{dy}{dt}=ky$?
The first three have rate proportional to the amount; the constant-rate tap does not. · Las tres primeras tienen una tasa proporcional a la cantidad; el grifo de tasa constante no lo tiene.
The exponential model comes only from $\frac{dy}{dt}=ky$ (rate proportional to the amount). Don't apply $y=y_0 e^{kt}$ to a constant-rate situation ($\frac{dy}{dt}=c$, which gives a line). And the sign of $k$ is everything: $k>0$ grows, $k<0$ decays — a wrong sign flips the whole behavior.
El modelo exponencial proviene únicamente de $\frac{dy}{dt}=ky$ (tasa proporcional a la cantidad). No apliques $y=y_0 e^{kt}$ a una situación de tasa constante ($\frac{dy}{dt}=c$, que da como resultado una recta). Además, el signo de $k$ lo es todo: $k>0$ implica crecimiento, $k<0$ implica decaimiento; un signo incorrecto invierte todo el comportamiento.
A colony of $500$ bacteria grows so that $\dfrac{dP}{dt}=0.3P$ ($t$ in hours). Find $P(t)$ and $P(4)$.
- Model: $P=P_0 e^{kt}=500\,e^{0.3t}$.
- At $t=4$: $P(4)=500\,e^{1.2}\approx500(3.32)\approx1660$ bacteria.
- Since $k=0.3>0$, this is exponential growth.
Una colonia de $500$ bacterias crece de tal manera que $\dfrac{dP}{dt}=0.3P$ ($t$ en horas). Encuentra $P(t)$ y $P(4)$.
- Modelo: $P=P_0 e^{kt}=500\,e^{0.3t}$.
- En $t=4$: $P(4)=500\,e^{1.2}\approx500(3.32)\approx1660$ bacterias.
- Dado que $k=0.3>0$, esto es un crecimiento exponencial.
The differential equation $\frac{dy}{dt}=ky$ gives the exponential model $y=y_0 e^{kt}$, where $y_0$ is the initial amount. $k>0$ → exponential growth; $k<0$ → exponential decay. It applies only when the rate is proportional to the current amount.
La ecuación diferencial $\frac{dy}{dt}=ky$ da lugar al modelo exponencial $y=y_0 e^{kt}$, donde $y_0$ es la cantidad inicial. $k>0$ → crecimiento exponencial; $k<0$ → decaimiento exponencial. Solo se aplica cuando la tasa es proporcional a la cantidad actual.