Sketching Slope Fields · Boceto de Campos de Pendientes
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| slope field/sləʊp fiːld/ | campo de pendientes |
A map of slopes across the plane
- A differential equation $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ gives a slope at every point.
- Draw a short segment with that slope at each point of a grid, and you get a slope field 斜率场.
- It's a "map" showing which way solution curves must travel everywhere.
- You don't need to solve the equation to draw it — just evaluate the slope.
Un mapa de pendientes en el plano
- Una ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ proporciona una pendiente en cada punto.
- Dibujar un segmento corto con esa pendiente en cada punto de una cuadrícula produce un campo de pendientes 斜率场.
- Es un "mapa" que muestra hacia dónde deben desplazarse las curvas solución en todas partes.
- No necesitas resolver la ecuación para dibujarla — solo evaluar la pendiente.
A slope field for dy/dx = ay · Un campo de pendientes para dy/dx = ay
Each dash has slope $\tfrac{dy}{dx}$ at its point — flat near $y=0$ and steeper far away for $\tfrac{dy}{dx}=ay$. · Cada trazo tiene pendiente $\tfrac{dy}{dx}$ en su punto — plano cerca de $y=0$ y más inclinado lejos para $\tfrac{dy}{dx}=ay$.
A slope field shows, at each point, the... · Un campo de pendientes muestra, en cada punto, el...
Each dash is the tangent direction there. · Cada trazo es la dirección tangente allí.
To draw a slope field you compute slopes only — you do ____ need to solve the equation. · Para dibujar un campo de pendientes calculas solo pendientes — no ____ necesitas resolver la ecuación.
The equation gives the slope directly. · La ecuación da la pendiente directamente.
Compute the slope at each point
- At a grid point $(x,y)$, plug into $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ to get the number — that's the segment's slope.
- Slope $0$ → a horizontal dash; large positive → a steep upward dash; negative → downward.
- Repeat over a lattice of points to fill the field.
- The equation tells you the slope directly; no antiderivative needed.
Calcular la pendiente en cada punto
- En un punto de la cuadrícula $(x,y)$, sustituye en $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ para obtener el número — esa es la pendiente del segmento.
- Pendiente $0$ → un guion horizontal; positivo grande → un guion ascendente empinado; negativo → descendente.
- Repite sobre una red de puntos para llenar el campo.
- La ecuación te da la pendiente directamente; no se necesita antiderivada.
For · A favor $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, find the slope of the dash at the point $(2,3)$. · Para $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, encuentre la pendiente del trazo en el punto $(2,3)$.
$2+3=5$.
For · A favor $\dfrac{dy}{dx}=xy$, the slope at $(3,2)$ is... · Para $\dfrac{dy}{dx}=xy$, la pendiente en $(3,2)$ es...
$xy=3\cdot2=6$ (use both coordinates). · $xy=3\cdot2=6$ (usa ambas coordenadas).
Spotting patterns quickly
- If $F$ depends only on $x$: the slope is the same all along a vertical line (columns look identical).
- If $F$ depends only on $y$: the slope is the same all along a horizontal line (rows look identical).
- For $\dfrac{dy}{dx}=y$: slopes grow with height — flat near $y=0$, steep far away.
- Recognizing these patterns speeds up sketching enormously.
Identificar patrones rápidamente
- Si $F$ depende solo de $x$: la pendiente es la misma a lo largo de toda una línea vertical (las columnas se ven idénticas).
- Si $F$ depende solo de $y$: la pendiente es la misma a lo largo de toda una línea horizontal (las filas se ven idénticas).
- Para $\dfrac{dy}{dx}=y$: las pendientes crecen con la altura — planas cerca de $y=0$, empinadas lejos de él.
- Reconocer estos patrones acelera enormemente el boceto.
If $\dfrac{dy}{dx}$ depends only on $x$, the dashes in each vertical column are parallel. · Si $\dfrac{dy}{dx}$ depende solo de $x$, los trazos en cada columna vertical son paralelos.
Same $x$ → same slope down the column. · Mismo $x$ → misma pendiente a lo largo de la columna.
Equilibrium lines
- Where $F(x,y)=0$, the slope is $0$ — a row (or curve) of horizontal dashes.
- For $\dfrac{dy}{dx}=y$, that happens at $y=0$: a whole horizontal line of flat segments.
- These lines often mark equilibrium behavior — solutions can level off there.
- They're the easiest points to plot, so start with them.
Líneas de equilibrio
- Donde $F(x,y)=0$, la pendiente es $0$ — una fila (o curva) de guiones horizontales.
- Para $\dfrac{dy}{dx}=y$, eso ocurre en $y=0$: una línea horizontal entera de segmentos planos.
- Estas líneas suelen marcar comportamiento de equilibrio — las soluciones pueden nivelarse allí.
- Son los puntos más fáciles de graficar, así que comienza con ellos.
For · A favor $\dfrac{dy}{dx}=y$, the dashes are horizontal along the line... · Para $\dfrac{dy}{dx}=y$, los trazos son horizontales a lo largo de la línea...
Slope · Pendiente $=y=0$ along $y=0$. · Pendiente $=y=0$ a lo largo de $y=0$.
A slope field shows the differential equation's slopes, not the solution curves themselves. The little segments are tangent directions; a solution is a curve that stays tangent to them. And compute the slope with the point's $(x,y)$, using $y$ too when $F$ depends on it — not just $x$.
Un campo de pendientes muestra las pendientes de la ecuación diferencial, no las curvas solución mismas. Los pequeños segmentos son direcciones tangentes; una solución es una curva que permanece tangente a ellas. Y calcula la pendiente con las $(x,y)$ del punto, usando $y$ también cuando $F$ depende de él — no solo de $x$.
Sketch a few slopes for $\dfrac{dy}{dx}=x$.
- At $(1,0)$: slope $=1$. At $(2,5)$: slope $=2$. At $(-1,3)$: slope $=-1$.
- Since $F=x$ (no $y$), every point in a vertical column has the same slope.
- Columns of parallel dashes: flat at $x=0$, tilting more as $|x|$ grows.
Boceta algunas pendientes para $\dfrac{dy}{dx}=x$.
- En $(1,0)$: pendiente $=1$. En $(2,5)$: pendiente $=2$. En $(-1,3)$: pendiente $=-1$.
- Dado que $F=x$ (sin $y$), cada punto en una columna vertical tiene la misma pendiente.
- Columnas de guiones paralelos: planas en $x=0$, inclinándose más a medida que $|x|$ crece.
A slope field draws a short segment of slope $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ at each grid point — a map of tangent directions, no solving needed. Compute the slope at each $(x,y)$; look for patterns (columns match if $F$ depends only on $x$, rows if only on $y$) and horizontal dashes where $F=0$.
Un campo de pendientes dibuja un segmento corto de pendiente $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ en cada punto de la cuadrícula: un mapa de direcciones tangentes, sin necesidad de resolver. Calcula la pendiente en cada $(x,y)$; busca patrones (las columnas coinciden si $F$ depende únicamente de $x$, las filas si solo de $y$) y trazos horizontales donde $F=0$.