Modeling Situations with Differential Equations · Modelado de situaciones con ecuaciones diferenciales
| English | Español |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | ecuación diferencial |
Equations that describe change itself
- Many real laws describe not a quantity, but how fast it changes.
- A differential equation 微分方程 relates a function to its derivatives.
- "Population grows at a rate proportional to its size" becomes $\dfrac{dP}{dt}=kP$.
- Solving it recovers the function; this unit is about writing and solving such equations.
Ecuaciones que describen el cambio mismo
- Muchas leyes reales no describen una cantidad, sino la velocidad a la que cambia.
- Una ecuación diferencial 微分方程 relaciona una función con sus derivadas.
- "La población crece a una tasa proporcional a su tamaño" se convierte en $\dfrac{dP}{dt}=kP$.
- Resolverla recupera la función; esta unidad trata sobre escribir y resolver tales ecuaciones.
A rate equation's slope field · Campo de pendientes de una ecuación de tasa
The equation · La ecuación $\tfrac{dy}{dt}=ky$ says the rate is proportional to $y$ — its slope field shows the growth it models. · La ecuación $\tfrac{dy}{dt}=ky$ indica que la tasa es proporcional a $y$ — su campo de pendientes muestra el crecimiento que modela.
A differential equation relates a function to its... · Una ecuación diferencial relaciona una función con sus...
It involves the function and its derivative(s). · Implica la función y su(s) derivada(s).
Translating words into a rate equation
- The phrase "the rate of change of $y$" is $\dfrac{dy}{dt}$ — the left side of your equation.
- "proportional to $y$" → $ky$; "proportional to the difference from $M$" → $k(M-y)$.
- Match the English description of the rate to an expression in $y$ (and maybe $t$).
- The whole model is: (rate of change) = (that expression).
Traduciendo palabras en una ecuación de tasa
- La frase "la tasa de cambio de $y$" es $\dfrac{dy}{dt}$ — el lado izquierdo de tu ecuación.
- "proporcional a $y$" → $ky$; "proporcional a la diferencia con $M$" → $k(M-y)$.
- Empareja la descripción en inglés de la tasa con una expresión en términos de $y$ (y quizás $t$).
- Todo el modelo es: (tasa de cambio) = (esa expresión).
"The rate of change of $y$ is proportional to $y$" becomes... · "La tasa de cambio de $y$ es proporcional a $y$" se traduce como...
Rate of change $\frac{dy}{dt}$ = $k$ times $y$. · Tasa de cambio $\frac{dy}{dt}$ = $k$ veces $y$.
Water drains at a rate proportional to the amount $W$. The model is... · El agua drena a una tasa proporcional a la cantidad $W$. El modelo es...
Draining means decreasing → negative rate: $-kW$. · Drenar implica disminución → tasa negativa: $-kW$.
Common modeling phrases
- Proportional to the amount: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — exponential growth/decay.
- Proportional to the amount present and remaining: $\dfrac{dy}{dt}=ky(M-y)$ — logistic-type.
- Constant rate: $\dfrac{dy}{dt}=c$.
- Reading the phrase tells you the right-hand side.
Frases comunes de modelado
- Proporcional a la cantidad: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — crecimiento/decaimiento exponencial.
- Proporcional a la cantidad presente y restante: $\dfrac{dy}{dt}=ky(M-y)$ — tipo logístico.
- Tasa constante: $\dfrac{dy}{dt}=c$.
- Leer la frase te indica el lado derecho.
Match each phrase to its rate expression. · Empareja cada frase con su expresión de tasa.
Read the phrase to build the right-hand side. · Lee la frase para construir el lado derecho.
A differential equation has a family of solutions
- Unlike an algebraic equation (one unknown number), a differential equation has an unknown function.
- Its solution is usually a family of functions (with a constant), not a single answer.
- A specific member is pinned down later by an initial condition (lesson 7.7).
- For now, the goal is just to write the equation from the situation.
Una ecuación diferencial tiene una familia de soluciones
- A diferencia de una ecuación algebraica (un número desconocido), una ecuación diferencial tiene una función desconocida.
- Su solución suele ser una familia de funciones (con una constante), no una sola respuesta.
- Un miembro específico se determina posteriormente mediante una condición inicial (lección 7.7).
- Por ahora, el objetivo es simplemente escribir la ecuación a partir de la situación.
$y=kt$ (with no derivative) is a differential equation. · $y=kt$ (sin derivada) es una ecuación diferencial.
A differential equation must involve a derivative. · Una ecuación diferencial debe incluir una derivada.
The solution of a differential equation is usually a ____ of functions, not a single one. · La solución de una ecuación diferencial suele ser una ____ de funciones, no una sola.
A constant remains until an initial condition fixes it. · Una constante permanece hasta que una condición inicial la fija.
A differential equation involves a derivative — it's a statement about a rate, not the quantity itself. "$y$ is proportional to $t$" ($y=kt$) is not a differential equation; "the rate of change of $y$ is proportional to $y$" ($\frac{dy}{dt}=ky$) is. Look for the "rate of change" language.
Una ecuación diferencial involucra una derivada — es una afirmación sobre una tasa, no sobre la cantidad misma. "$y$ es proporcional a $t$" ($y=kt$) no es una ecuación diferencial; "la tasa de cambio de $y$ es proporcional a $y$" ($\frac{dy}{dt}=ky$) sí lo es. Busca el lenguaje de "tasa de cambio".
"A tank's water drains at a rate proportional to the amount of water $W$." Write the model.
- Rate of change of $W$: $\dfrac{dW}{dt}$.
- Proportional to $W$, and draining (decreasing) → $\dfrac{dW}{dt}=-kW$ (with $k>0$).
- The negative sign encodes that the water is decreasing.
"El agua de un tanque drena a una tasa proporcional a la cantidad de agua $W$." Escribe el modelo.
- Tasa de cambio de $W$: $\dfrac{dW}{dt}$.
- Proporcional a $W$, y drenando (disminuyendo) → $\dfrac{dW}{dt}=-kW$ (con $k>0$).
- El signo negativo codifica que el agua está disminuyendo.
A differential equation relates a function to its derivatives — it models a rate of change. Translate the words: "rate of change of $y$" is $\frac{dy}{dt}$, "proportional to $y$" is $ky$, and so on. Its solution is a family of functions, pinned down later by an initial condition.
Una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas — modela una tasa de cambio. Traduce las palabras: "tasa de cambio de $y$" es $\frac{dy}{dt}$, "proporcional a $y$" es $ky$, etc. Su solución es una familia de funciones, determinada posteriormente por una condición inicial.